Page 69 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ

68 Kuaterniyonlar ve Geometri ­ Mustafa Özdemir

  ()=  −1 Dönü¸sümü NormuveSkalarKısmı Korur

4.10 Teorem H kuaterniyonlar kümesinde, q r ∈ H için,
R : H → H  R q (r)= qrq −1
¸ seklinde tanımlanan R lineer dönü¸sümü, normu ve r kuaterniyonunun skalar kısmını
korur.

¨ ¥
F Kanıt F
§ ¦
R q dönü¸sümüyle elde edilen R q (r) kuaterniyonunun normu, kpqk = kpkkqk e¸sitli˘ gi kul­
lanılarak,
° ° ° ° ° °
kR q (r)k = qrq −1 ° = kqkkrk q = krk qq −1 ° = krk
° −1 °
°
°
elde edilir. O halde, R normu koruyan bir dönü¸sümdür.
Di˘ ger yandan, R q dönü¸sümüyle elde edilen R q (r) kuaterniyonunun skaler kısmını, yani
 (R q (r)) de˘ gerini inceleyelim.
 (pq)=  (qp)
oldu˘ gu göz önüne alınırsa,
¡ −1 ¢ ¡ −1 ¢
 (R q (r)) =  qrq =  qq r =  (r)
elde edilir. Buna göre, R dönü¸sümü r kuaterniyonunun skalar kısmını de˘ gi¸stirmez.

Yukarıdaki teoremde, R dönü¸sümünün, bir kuaterniyonun skaler kısmını de˘ gi¸stirmedi˘ gini
görüyoruz. O halde, kuaterniyonun sadece vektörel kısmı de˘ gi¸smektedir. R dönü¸sümü, ku­
aterniyonun skaler kısmını de˘ gi¸stirmedi˘ gi için, R uzayındaki herhangi bir u vektörünü, has
3
kuaterniyon olarak kabul ederek, yine bir R (u) ∈ R vektörüne, yani bir has kuaterniyona
3
dönü¸stürür. Di˘ ger yandan, R dönü¸sümünün lineer olması ve normu koruması, bu dönü¸süm ile
Öklidiyen bir hareket arasında bir ili¸ski olup olmadı˘ gı sorusuna aklımıza getirecektir. Gerçek­
ten de, a¸sa˘ gıdaki teorem yardımıyla, her birim kuaterniyonun bir dönmeye kar¸sılık geldi˘ gini
görürüz.

Her Birim Kuaterniyon Üç Boyutlu Uzayda Bir Dönmeye Kar¸sılık Gelir

4.11 Teorem H 1 birim kuaterniyonlar kümesinde verilen bir

q =cos  + n sin  ∈ H 1
birim kuaterniyonu için, u ∈ R 3

R q (u)= quq −1
3
dönü¸sümü, n ∈ R dönme ekseni etrafında 2 açısı kadar dönmeyi ifade eder.