Page 66 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ

Kuaterniyonlar ve Üç Boyutlu Uzayda Dönme 65

¨ ¥
F Kanıt F
§ ¦
 bir dönme matrisi olmak üzere,
 ()=det ( − )=( −  1 )( −  2 )( −  3 )
karakteristik polinomunun kökleri
1   −i =cos  − i sin     i =cos  + i sin 
oldu˘ gundan,
2
i
i
 ()=( − 1) ( −  −i )( −  )=( − 1) ( − ( −i +  ) +1)
¡ ¢
e¸sitli˘ ginde, cos  =  −i +  i 2 oldu˘ gu kullanılırsa,
¡ 2 ¢
4  ()= ( − 1)  − 2cos  +1
elde edilir. Bir önceki sonuçla kar¸sıla¸stırılırsa, 1−()= −2cos  e¸sitli˘ ginden
1
cos  = (iz − 1)
2
bulunur.

Örnek 4.5 1 ⎡ −7 4 4 ⎤
3
R uzayında verilen R = ⎣ 4 −1 8 ⎦ dönme matrisinin dönme açısı,
9
4 8 −1
µ ¶
1 1
cos  = (−7 − 1 − 1) − 1 = −1
2 9
e¸sitli˘ ginden  =  olarak bulunur.

Örnek 4.6 1 ⎡ 4 −1 −8 ⎤
3
R uzayında verilen R = ⎣ −7 4 −4 ⎦ dönme matrisinin belirtti˘ gi dönme açısı,
9
4 8 1
4+4+1
iz (R) − 1 9 − 1
cos  = = =0
2 2

e¸sitli˘ ginden  = olarak bulunur.
2

⎡ ⎤
2 −1 2
1
4.9 Alıştırma R = ⎣ 2 2 −1 ⎦ matrisinin belirtti˘ gi dönme açısını bulunuz.
3
−1 2 2
Yanıt : 60 
◦
Üç Boyutlu Öklid Uzayında Bir Dönme Matrisinin Dönme Ekseni

3
4.8 Teorem R uzayında dönme matrisinin dönme ekseni, matrisin 1 özde˘ gerine
kar¸sılık gelen özvektörüdür.