Page 64 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ

Kuaterniyonlar ve Üç Boyutlu Uzayda Dönme 63

Tek Boyutlu Uzaylarda Dönme Matrisinin Dönme Açıları

4.5 Teorem R 2+1 de bir dönme matrisinin belirtti˘ gi dönme açıları için
iz (R)= 2 cos  1 +2 cos  2 + ··· +2 cos   +1
e¸sitli˘ gi vardır.

¨ ¥
F Kanıt F
§ ¦
 bir dönme matrisi olmak üzere,  ()= det ( − )= ( −  1 )( −  2 )( −  3 )
karakteristik polinomunun kökleri

1   ±i =cos   − i sin     =1 2
formunda olaca˘ gından,
³ ´³ ´ ³ ´³ ´
 ()=( − 1)  −  −i 1  −  i 1 ···  −  −i   −  i 
³ ³ ´ ´ ³ ³ ´ ´
2
2
=( − 1)  −  −i 1 +  i 1  +1 ···  −  −i  +  i   +1
e¸sitli˘ ginde,
 −i  +  i 
cos   =
2
oldu˘ gu kullanılırsa,
¡ 2 ¢ ¡ 2 ¢
 ()=( − 1)  − 2cos  1  +1 ···  − 2cos    +1
elde edilir. Bu polinomda,  2 teriminin katsayısı,
− (2 cos  1 +2 cos  2 + ··· +2 cos   +1)
oldu˘ gundan, Sonuç 4.2. kullanılırsa,
iz (R)= 2 cos  1 +2 cos  2 + ··· +2 cos   +1
elde edilir.

Çift Boyutlu Uzaylarda Dönme Matrisinin Dönme Açıları

4.6 Teorem R 2 uzayında bir dönme matrisinin belirtti˘ gi dönme açıları için
iz (R)= 2 (cos  1 +cos  2 + ··· +cos   )
e¸sitli˘ gi vardır.

¨ ¥
F Kanıt F Yukarıdaki gibi kanıtlanır.
§ ¦

Sonuç 4.3 Öklid düzleminde bir R dönme matrisinin belirtti˘gi dönme açısı 2cos  =iz(R)
e¸sitli˘gi ile belirlidir.