Page 70 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ

Kuaterniyonlar ve Üç Boyutlu Uzayda Dönme 69

¨ ¥
F Kanıt F
§ ¦
Kuaterniyonun vektörel kısmı olan v q = n vektörü ile u vektörünün bulundu˘ gu düzlemden,
n ⊥ E 2 ve n k E
1
olacak ¸sekilde bir E 1 ve E 2 vektörü alalım. Buna göre, ¸sekilden de görülece˘ gi gibi,

u = E 1 + E 2
biçiminde yazabiliriz.

2θ E 2

E 3
.
.
E 1
u
R(u)
n

n × E 2 vektörü hem u hem de E 2 vektörüne dik bir vektördür. Bu vektörü de, E 3 ile
3
gösterelim. Böylece, R uzayının bir {n E  E 3 } ortogonal çatısını olu¸sturmu¸soluruzve
2
bir  ∈ [0 2) açısı için,
u =(cos ) n +(sin ) E 2
¸ seklinde yazabiliriz. ¸Simdi, R q dönü¸sümünün n ve E 2 vektörlerini nasıl de˘ gi¸stirdi˘ gini göre­
lim.
i) v q = n oldu˘ gundan, Teorem 2.1 gere˘ gince, pn = nq olaca˘ gından,

R (n)= qnq −1 = nqq −1 = n
elde edilir. Yani, R dönü¸sümü n vektörünü de˘ gi¸stirmez. Bu R dönme dönü¸sümünün dönme
ekseninin q kuaterniyonunun vektörel kısmı oldu˘ gu˘ gu anlamına gelir.
ii) v  v q = − hv   v q i + v  × v q ve n × E 2 = E 3 oldu˘ gu da göz önüne alınarak,

R q (E 2 )= qE q −1
2
=(cos  + n sin ) E 2 (cos  − n sin )
=(E 2 cos  + nE 2 sin )(cos  − n sin )
=(E 2 cos  +(− hn E 2 i + n × E 2 )sin ) (cos  − n sin )
=(E 2 cos  + E 3 sin )(cos  − n sin )
2
2
= E 2 cos  − (E 2 n)cos  sin  + E 3 cos  sin  − E 3 n sin 
2
= E 2 cos  − (− hE 2  ni + E 2 × n)cos  sin 
2
+E 3 cos  sin  − (− hE 3  ni + E 3 × n)sin 
2
2
= E 2 cos  + E 3 cos  sin  + E 3 cos  sin  − E 2 sin 
= E 2 cos 2 + E 3 sin 2
elde edilir.