Page 75 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ

74 Kuaterniyonlar ve Geometri ­ Mustafa Özdemir

Örnek 4.8
   eksenleri etrafında  açısı kadar dönmeyi ifade eden matrisleri, kuaterniyonlar yardımıyla bu­
lunuz.

Çözüm :  ekseni etrafındaki dönmede, dönme ekseni n =(1 0 0) oldu˘ gundan, bu eksene dik olan
düzlemdeki dönmeyi, yani bu eksen etrafındaki  açısı kadar dönmeyi ifade eden kuaterniyon :
   
q =cos + n sin =cos + i sin
2 2 2 2
kuaterniyonudur. Buna göre,  1 =cos 2 2 =sin 2 ve  3 =  4 =0 oldu˘ gu göz önüne alınırsa,
⎡   ⎤
cos 2 +sin 2 0 0 ⎡ ⎤
2 2
⎢ ⎥ 1 0 0
⎢ 2  2    ⎥
R q = ⎢ 0 cos − sin −2cos sin ⎥ = 0cos  − sin  ⎦
⎣
2 2 2 2
⎢ ⎥
⎣ ⎦ 0 sin  cos 
   2 
0 2 cos sin cos 2 − sin
2 2 2 2
matrisi elde edilir. Ayrıca, (4.2) matrisinde,  =1 =  =0 alınarak da kolayca elde edilebilir. Bu
matris ço˘ gu zaman R  ile gösterilir. Benzer ¸sekilde,  ve  ekseni etrafında  açısı kadar dönmeyi ifade
eden matrisler :
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
cos  0 − sin  cos  − sin  0
R  = ⎣ 0 1 0 ⎦ ve R  = ⎣ sin  cos  0 ⎦
sin  0 cos  0 0 1
olacaktır.

Örnek 4.9
Uzayda,
 
 = =
2 2
do˘ grusu etrafında, 90 dönmeyi ifade eden kuaterniyonu ve dönme matrisini bulunuz.  (3 4 5) nok­
◦
tası, bu do˘ gru etrafında 90 döndürülürse hangi nokta elde edilir?
◦
Çözüm : Birim dönme ekseni, yani dönmenin meydana geldi˘ gi düzleme dik olan birim normal vektör :
1
n = (1 2 2)
3
vektörüdür. O halde, 90 lik dönmeye kar¸sılık gelen kuaterniyon :
◦
µ ¶
i +2j +2k
q = cos 45 + sin 45 ◦
◦
3
kuaterniyonudur. Buna kar¸sılık gelen matris ise, (4.1) matrisinden,
⎡ ⎤
1 −48
1
R  = ⎣ 8 4 1 ⎦
9
−4 7 4

bulunur. Bu matris için, det  =1 ve   =  oldu˘ gunu görebilirsiniz.  (3 4 5) noktası, bu do˘ gru
−→
etrafında 90 döndürülürse, u =  olmak üzere,
◦
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
1 −48 3 3
1
R  (u)= ⎣ 8 4 1 ⎦ ⎣ 4 ⎦ = 5 ⎦
⎣
9
−4 7 4 5 4
elde edilir.