Page 77 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ

76 Kuaterniyonlar ve Geometri ­ Mustafa Özdemir

Örnek 4.11
1
Birim küre üzerinde  =(1 0 0) noktasını,  = √ (1 1 1) noktasına götüren, dönme dönü¸sümüne
3
kar¸sılık gelen kuaterniyonu bulunuz ve dönme dönü¸sümünü ifade ediniz. Dönme hareketinin hangi
düzlemde kaç derecelik açıyla olu¸stu˘ gunu bulunuz.
√
−→ −−→ 1 ˙ 3
Çözüm : u= =(1 0 0) ve v= = √ (1 1 1) diyelim. Istenen kuaterniyon cos = hu vi =
3 3
oldu˘ gundan,
 u × v 
q =cos + sin
2 ku × vk 2
kuaterniyonudur. Dönme ekseni :
¯ ¯
¯ i j k ¯ √
1 ¯ ¯ 3
¯
u × v = √ ¯ 10 0 = (0 −1 1)
¯ ¯ 3
11 1 ¯
3 ¯
√
u × v 2 
oldu˘ gundan, n = = (0 −1 1) bulunur. Di˘ ger yandan, cos  =2 cos 2 − 1 e¸sitli˘ ginden,
ku × vk 2 2
s s
√ √
 3+ 3  3 − 3
cos = ve sin =
2 6 2 6
elde edilir. O halde, istenen birim kuaterniyon
s s
√ √ √
3+ 3 3 − 3 2
q = + (−j + k)
6 6 2
bulunur. Bu kuaterniyona kar¸sılık gelen dönme matrisi de, Teorem 4.12 yardımıyla,
⎡ √ √ √ ⎤
2 3 −2 3 −2 3
1 √ √ √
R q = ⎣ 2 3 3+3 3 − 3 ⎦
6 √ √ √
2 3 3 − 3 3+3
elde edilir. R q (u)= v oldu˘ gunu görünüz.
Örnek 4.12
u =(1 1 1) vektörünü, v =(1 −1 1) vektörüne döndüren birim kuaterniyonu, dönme açısını ve
eksenini ve bu kuaterniyona kar¸sılık gelen dönme matrisini bulunuz.

Çözüm : Dönme açısı  olmak üzere,
hu vi 1 1 1
cos 2 = = ⇒  = arccos
kukkvk 3 2 3
√
e¸sitli˘ giyle belirlidir. Buradan, cos  =23 ve sin  = 53 olur. Dönme ekseni de :
√
u × v 2
n = = (1 0 −1)
ku × vk 2
olur. O halde, istenen dönmeye kar¸sılık gelen kuaterniyon :
√ √ √
2 2 10 10
 =cos  + (i − k)sin  = + i − k
2 3 6 6
olacaktır. Böylece, bu kuaterniyona kar¸sılık gelen dönme matrisi de :
⎡ √ ⎤
4 2 10 −5
1 √ √
R q = ⎣ −2 10 −1 −2 10 ⎦
9 √
−5 2 10 4
elde edilir.