Page 81 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ

Kuaterniyonlar ve Üç Boyutlu Uzayda

Yansıma

Kuaterniyonlar yardımıyla yansıma dönü¸sümleri çok kolay yorumlanabilir. Ama öncelikle,
Öklid uzayında yansıma (simetri) dönü¸sümlerini ve matrislerini kısaca tanıyalım ve özellik­
lerini verelim.

ÖklidUzayındaYansıma ve YansımaMatrisi

¨ ¥
5.1 F Bir Hiperdüzleme Göre Yansıma ve Yansıma Matrisi F
§ ¦

Analitik geometri bilgilerinden hatırlanırsa, herhangi bir u ∈ R vektörü için, u ⊥ ile u
vektörüne dik olan altuzay gösterilmek üzere,

 u : R → R    u (v)= v − 2 hu vi u
hu ui
dönü¸sümü, v vektörünün, W = u ⊥ uzayına göre simetri˘ gini (yansımasını) veren
dönü¸sümdür. E˘ ger, v ∈ W ise, hu vi =0 olaca˘ gından,
 u (v)= v
2
olacaktır. v k u olması durumda ise, hu vi = huui =  kuk olaca˘ gından,
 u (v)= v − 2u = −v
elde edilir.

Öklid uzayında,  u dönü¸sümünün matrisi :

uu  2 ¡ ¢
 u =I − 2 =I − uu 

u u kuk 2

biçiminde ifade edilebilir. Gerçekten de : hu vi = u v e¸sitli˘ gi ve matris çarpımının birle¸simli
oldu˘ gu göz önüne alınırsa,

uu  uu v u hu vi hu vi
 u (v)= I (v) − 2 (v)= v − 2 = v − 2 = v − 2 u


u u u u hu ui hu ui
olacaktır.
Öklid Uzayında Yansıma Dönü¸sümü

5.1 Teorem Herhangi u ∈ E vektörü için,

uu 
 u =I − 2

u u
ile verilen yansıma matrisi bir involutif matristir. Yani, e¸sterstir ve bir noktaya iki kez
uygulanırsa, aynı noktaya geri döner.