Page 79 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ

78 Kuaterniyonlar ve Geometri ­ Mustafa Özdemir

Verilen Bir Dönme Matrisine Kar¸sılık Gelen Kuaterniyonun
Bulunması

Uzayda bir dönme hareketini gösteren bir R dönme matrisi verilsin. Bu matrise kar¸sılık
gelen iki birim kuaterniyon vardır. Biri q ise, di˘ geri −q kuaterniyonudur. Bu kuaterniyonu,
a¸sa˘ gıdaki formüller yardımıyla bulabiliriz.
⎡ 2 2 2 2 ⎤
 +  −  −  4 −2 1  4 +2 2  3 2 1  3 +2 2  4
3
1
2
2
2
2
R =[  ] = ⎣ 2 1  4 +2 2  3  −  +  −  2 −2 1  2 +2 3  4 ⎦
3×3 1 2 3 4 2 2 2 2
−2 1  3 +2 2  4 2 1  2 +2 3  4  −  −  +  4
3
2
1
2
2
2
2
olmak üzere,  +  +  +  =1 oldu˘ gu da kullanılırsa,
4
2
3
1
¡
2
2
2
2
2
izR =  11 +  22 +  33 =4 −  +  +  +  2 ¢ =4 − 1
3
1
1
2
4
1
e¸sitli˘ gini elde ederiz. Buradan,
1 √ 1 √
 1 = ± 1+  11 +  22 +  33 = ± 1+izR
2 2
bulunur. Burada,  1 de˘ gerinin sıfır veya sıfırdan farklı olmasına göre  2  3 ve  4 de˘ gerlerini
bulalım.
i)  1 6=0 ise,
1 1 1
 2 = ( 32 −  23 )   3 = ( 13 −  31 )   4 = ( 21 −  12 )
4 1 4 1 4 1
formülleri kullanılır.
ii.  1 =0 ise,
2
2
 12 =2 2  3   13 =2 2  4   23 =2 3  4  1=  +  +  2 4
3
2
e¸sitliklerinden  2  3 ve  4 de˘ gerleri bulunabilir.
Örnek 4.13
A¸sa˘ gıdaki dönme matrislerine kar¸sılık gelen p ve q birim kuaterniyonları bulunuz.
√
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
4 2 10 −5 −1 −4 8
1 √ √ 1
R p = ⎣ −2 10 −1 −2 10 ⎦ ve R q = ⎣ −4 −7 −4 ⎦ 
9 √ 9
−5 2 10 4 8 −4 −1
p
Çözüm : izR p =79 için,  1 = ± 1+izR p 2 e¸sitli˘ ginden,
r
1 7 2
 1 = ± 1+ = ±
2 9 3
1 3
olur. Buradan,  1 =23 için, = oldu˘ gundan,
4 1 8
3 3 ³ √ √ ´ 3 √
= ( 32 −  23 )= 2 10 + 2 10 = 10
 2
8 8 2
3
= ( 13 −  31 )= 0
 3
8
3 3 ³ √ √ ´ 3 √
= ( 21 −  12 )= −2 10 − 2 10 = 10
 4
8 8 2
√ √ ¢
¡
bulunur. Böylece, p = ± 23+(3 102)i − (3 102)k elde edilir.