Page 84 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ

Kuaterniyonlar ve Üç Boyutlu Uzayda Yansıma 83

Ortogonal Bir Matrisin Dönme veya Yansıma Matrisi Olması

5.4 Teorem  üç boyutlu Öklid uzayında bir ortogonal matris olsun. Bu durumda,
a) det  =1 ise  bir dönme matrisidir.
b) det  = −1 ve  =  ise  ya − matrisidir ya da yansıma matrisidir.

c) det  = −1 ve  6=  ise,  matrisi 3 yansıma matrisinin çarpımıdır.


¨ ¥
F Kanıt 2 F
§ ¦
Cartan­Diodenne teoremine göre,  matrisi, 0, 1, 2 veya 3 tane yansıma matrisinin çarpımıdır.

 =  1 ···  

olsun. Bu durumda, det  =(−1) olacaktır.
i.E˘ ger det  =1 ise,  =0 veya  =2 olabilir.  =0 olması için,  =  olmalıdır ki bu
matris 0 derecelik dönme matrisi olarak kabul edilir.  =2 ise,  iki yansımanın bile¸skesidir
ve  bir dönme matrisidir.
ii. E˘ ger det  = −1 ise,  =1 veya  =3 olabilir. E˘ ger,  =1 ise,  tek yansıma olabilir ki


bu durumda  =  olur ve  =  oldu˘ gundan,  =  elde edilir.


E˘ ger,  6=  ise,  6=  çeli¸skisi elde edilir. Bu durumda  =1 olamaz. Yani,  =3
durumunda,  matrisi 3 yansımanın bile¸skesi olması gerekir.
E˘ ger det  = −1 ve  =  ise, det (−)=1 olaca˘ gından,


− = − = − −1
elde edilir. Bu e¸sitlik − matrisinin karesi birim matris olan bir dönme matrisi olması demek­

tir.  = − bu durumu sa˘ glar.  6= − ise,  =  diyelim.  =  oldu˘ gundan,  bir
yansıma matrisidir. Dolayısıyla da,  bir yansıma matrisi olur.