Page 82 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ

Kuaterniyonlar ve Üç Boyutlu Uzayda Yansıma 81

¨ ¥
F Kanıt 2 F
§ ¦
2
 =  oldu˘ gunu göstermeliyiz.
u
µ ¶µ ¶
2 2
 u  u = I − uu  I − uu 
2 2
kuk kuk
4  4  
=I − uu + uu uu
2 4
kuk kuk
4  4 ¡  ¢ 
=I − uu + u u u u
2 4
kuk kuk
4  4 
=I − 2 uu + 2 uu
kuk kuk
=I

Yansıma Matrisi Simetrik ve Ortogonal Bir Matristir.

5.2 Teorem Herhangi u ∈ E vektörü için,

uu 
 u =I − 2

u u
ile verilen yansıma matrisi simetrik ve ortogonal bir matristir.

¨ ¥
F Kanıt 2 F
§ ¦
Simetrik olması için,  =  olmalıdır.

2 2
¢
  ¡   
 =I − uu =I − uu = 
2 2
kuk kuk

oldu˘ gundan,  matrisi simetrik bir matristir. Ortogonal oldu˘ gunu göstermek için,  =  −1
veya denk olarak,   =I oldu˘ gunu göstermeliyiz. Bu ise,  =I ve  =  oldu˘ gundan

2

açıktır.
3
Özel olarak, R uzayında orjinden geçen bir düzleme göre yansıma matrisi, düzlemin normali
n olmak üzere,
2 
 n =I 3 − 2 nn
knk
olacaktır.
Örnek 5.1
n =(1 2 2) vektörüne dik düzleme göre yansımayı ifade eden matrisi bulunuz.

Çözüm :
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
10 0 1 7 −4 −4
2  2 £ ¤ 1
⎣
 n =I − nn = 01 0 ⎦ − ⎣ 2 ⎦ 122 = ⎣ −4 1 −8 ⎦
2
knk 00 1 9 2 9 −4 −8 1
elde edilir.