Page 86 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ

Kuaterniyonlar ve Üç Boyutlu Uzayda Yansıma 85

oldu˘ gundan, hv ⊥  ni =0 oldu˘ gu da göz önüne alınırsa,

nv ⊥ n = n (v ⊥ n)= n (− hv ⊥  ni + v ⊥ × n)
= n (v ⊥ × n)
= − hn (v ⊥ × n)i + n × (v ⊥ × n)
= n × (v ⊥ × n)
elde edilir. u× (v × w)= hu wi y − hu vi w özelli˘ ginden,

nv ⊥ n = hn ni v ⊥ − hn v i n = v ⊥
⊥
° °
bulunur. Di˘ ger yandan, v × n = 0 ve v = v ° n oldu˘ gundan,
°
k k k
¡ ¢ ¡ ­ ® ¢
nv n = n v n = n − v  n + v × n
k k k k
° °
= −n v ° knk cos 0
°
k
° °
= −n v k °
°
= −v k
elde edilir. Sonuç olarak,
¡ ¢
 D (v)=  v ⊥ + v = −v ⊥ + v
k k
olur ki, bu v vektörünün, D n düzlemine göre simetri˘ gi yani yansıması demektir.
Örnek 5.2 i 2 2
3
R uzayında, v =3i +6j +2k vektörünün, birim normali n = + j + k olan orjinden geçen
3 3 3
düzleme göre simetri˘ gini bulunuz.
˙
Çözüm : Istenen vektör  D (v)= nvn vektörüdür. Buna göre,
µ ¶ µ ¶
i 2 2 i 2 2
 D (v)= + j + k (3i +6j +2k) + j + k
3 3 3 3 3 3
1
= (i +2j +2k)(3i +6j +2k)(i +2j +2k)
9
kuaterniyon çarpımını hesaplamamız yeterlidir.
(i +2j +2k)(3i +6j +2k)= − h(1 2 2)  (3 6 2)i +(1 2 2) × (3 6 2)
¯ ¯
¯ i j k ¯
¯ ¯
= − (3 + 12 + 4) + 12 2 ¯
¯
¯ ¯
¯ 36 2 ¯
= −19 − 8i +4j
olur. Buradan,  =  p  q − hv   v q i +  p v q +  q v  + v  × v q oldu˘ gu kullanılırsa,
1
 D (v)= nvn = (−19 − 8i +4j)(i +2j +2k)
9
⎛ ¯ ¯⎞
¯ i j k ¯
1 ¯ ¯
= ⎝ − (−8+8) − 19 (i +2j +2k)+ −84 0 ¯⎠
¯
9 ¯ ¯
¯ 1 2 2 ¯
1
= − (11i +22j +58k)
9
elde edilir.