Page 88 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ

Kuaterniyonlar ve Üç Boyutlu Uzayda Yansıma 87

Bir Vektörün Do˘ gruya Göre Yansıması

˙
Kuaterniyonlarla Orjinden Geçen Bir Do˘ gruya Göre Yansımasının Incelenmesi

5.6 Teorem L u ile orjinden geçen ve do˘ grultusu u birim vektörü (has birim kuater­
niyonu) olan do˘ gruyu gösterelim.  noktasının L u do˘ grusuna göre simetri˘ gi,  olsun.
0
−→
 = v olmak üzere,
 L : R 3 → R 3
v →  L (v)= −uvu
biçiminde, kuaterniyon çarpımı yardımıyla tanımlanan lineer dönü¸süm, v vektörünün L u
−−→
do˘ grusuna göre simetri˘ gini, dolayısıyla da,  L (v)=  e¸sitli˘ ginden,  noktasının
0
0
koordinatlarını verir.
A
v  v   v ∥
v  v
n
v ∥
O
Y(v) A ı
­ v 
v 

¨ ¥
F Kanıt 2 F
§ ¦
v ile u vektörüne paralel olan, yani do˘ gruya paralel, v ⊥ ile ise do˘ gruya, yani u vektörüne dik
k
olan vektörü göstermek üzere, v = v ⊥ + v biçiminde yazabiliriz. Buna göre,
k
¡ ¢
 L (v)= −u v ⊥ + v u = −uv ⊥ u − uv u
k k
vektörünü hesaplayalım. hv ⊥  ui =0 oldu˘ gu da göz önüne alınırsa,
uv ⊥ u = u (v ⊥ u)= u (− hv ⊥  ui + v ⊥ × u)
= u (v ⊥ × u)
= − hu (v ⊥ × u)i + u × (v ⊥ × u)
= u × (v ⊥ × u)
= hu ui v ⊥ − hu v i u
⊥
= v ⊥
ve
¡ ¢ ¡ ­ ® ¢
uv u = u v u = u − v  u + v × u
k
k
k
k
° °
= −u v ° kuk cos 0
°
k
° °
= −u v k °
°
= −v k
oldu˘ gundan,
¡ ¢ ¡ ¢
 D (v)=  v ⊥ + v = −u v ⊥ + v u = −uv ⊥ u − uv u = −v ⊥ + v
k k k k
elde edilir. Bu vektör ise, v vektörünün, L u do˘ grusuna göre simetri˘ gidir.