Page 76 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ

Kuaterniyonlar ve Üç Boyutlu Uzayda Dönme 75

Örnek 4.10
2 +3 +6 =0 düzleminde 90 lik dönme yaptıran birim kuaterniyonu bulunuz, matrisini yazınız.
◦
Buna göre, bu düzlemdeki u =(0 −2 1) vektörü 90 döndürülürse hangi vektör elde edilir?
◦

90 0

1
Çözüm : Dönme ekseni : n = (2 3 6) oldu˘ gundan, istenen kuaterniyon :
7
√ √ √ √
  2 2 3 2 3 2
◦
◦
q =cos + n sin = cos 45 + n sin 45 = + i + j + k
2 2 2 7 14 7
olacaktır. Buradan, Teorem 4.12’den dönme matrisi :
⎡ ⎤
4 −36 33
1
R q = ⎣ 48 9 4 ⎦
49
−9 32 36
elde edilir. Böylece, u =(−1 −1 1) için,
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
4 −36 33 0 15
1 1
R q (u)= ⎣ 48 9 4 ⎦ ⎣ −2 ⎦ = ⎣ −2 ⎦
49 7
−9 32 36 1 −4
bulunur.
Belirli Bir Dönmeye Kar¸sılık Gelen Birim Kuaterniyonu Belirleme

4.15 Teorem Birim küre üzerindeki bir  noktasını,  noktasına götüren dönmeye
−→
−−→
kar¸sılık gelen kuaterniyon, u = , v =  ve cos  = hu vi olmak üzere
 u × v 
q =cos + sin
2 ku × vk 2
ile belirlidir.

¨ ¥
F Kanıt 2 F
§ ¦
−−→
−→
Kürenin merkezini O ile göstermek üzere, dönme dönü¸sümü u =  ve v =  düzlem­
lerinde meydana gelir. Buna göre, dönme ekseni ve dönme açısı sırasıyla
u × v
n = ve cos  = hu vi
ku × vk
e¸sitliklerinden elde edilir. O halde, bu dönmeye kar¸sılık gelen kuaterniyon :

 u × v 
q =cos + sin
2 ku × vk 2
kuaterniyonu olacaktır