Page 72 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ

Kuaterniyonlar ve Üç Boyutlu Uzayda Dönme 71

Birim Kuaterniyona Kar¸sılık Gelen Dönme Matrisi

4.12 Teorem Bir q =  1 +  2 i +  3 j +  4 k birim kuaterniyonu için,
3
R q : R → R 3
dönme dönü¸sümüne kar¸sılık gelen matris :
⎡ 2 2 2 2 ⎤
 +  −  −  4 −2 1  4 +2 2  3 2 1  3 +2 2  4
3
1
2
2
2
2
R q = ⎣ 2 1  4 +2 2  3  −  +  −  4 2 −2 1  2 +2 3  4 ⎦ (4.1)
2
3
1
2
2
2
−2 1  3 +2 2  4 2 1  2 +2 3  4  −  −  +  4 2
2
3
1
 −1 ¡ 2 2 2 2 ¢ 3
matrisidir. Bu matris R = R q ve det R q =  +  +  +  4 =1 özelliklerini
2
q
1
3
sa˘ glar. Yani, bir dönme matrisidir.
¨ ¥
F Kanıt F
§ ¦
3
3
R uzayında verilen bir u = 1 i+ 2 j+ 3 k ∈ R vektörü için, R q (u)= quq −1 dönü¸sümünün
lineerli˘ gi kullanılarak R q matrisi bulunabilir. Gerçekten,
R q (u)= R q ( 1 i +  2 j +  3 k)
=  1 R q (i)+  2 R q (j)+  3 R q (k)
⎡ ⎤
 1
£ ¤
= R q (i) R q (j) R q (k) ⎣  2 ⎦
 3
oldu˘ gundan, istenen matris :
£ ¤
R q = R q (i) R q (j) R q (k)
matrisidir. Buna göre,
R q (i)= qiq −1
=( 1 +  2 i +  3 j +  4 k) i ( 1 −  2 i −  3 j −  4 k)
=( 1 i −  2 −  3 k +  4 j)( 1 −  2 i −  3 j −  4 k)
¡ 2 2 2 2 ¢
=  +  −  −  4 i +(2 1  4 +2 2  3 ) j +(2 2  4 − 2 1  3 ) k
1
3
2
elde edilir. Benzer ¸sekilde,
¡ 2 2 2 2 ¢
R q (j)= (−2 1  4 +2 2  3 ) i +  −  +  −  4 j +(2 1  2 +2 3  4 ) k
1
3
2
¡ ¢
2
2
2
R q (k)= (2 1  3 +2 2  4 ) i +(−2 1  2 +2 3  4 ) j +  −  −  +  2 4 k
2
1
3
elde edilir. Buradan, (4.1) matrisi elde edilir.
Öklid uzayındaki her dönme dönü¸sümünün standart tabana göre ortogonal bir dönme mat­
risiyle temsil edildi˘ gini, ve bu matrislerin üç boyutlu SO (3) ortogonal grubunu olu¸sturdu˘ gunu
biliyoruz. Yukarıdaki teorem de her birim kuaterniyonun bir dönme matrisine kar¸sılık geldi˘ gini
gördük. H 1 birim kuaterniyonlar grubu ile SO (3) grubu arasında bir grup homomorfizması
vardır. Yani,
3
 :S ' H 1 → SO (3)
q →  (q)= R q