Page 74 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ

Kuaterniyonlar ve Üç Boyutlu Uzayda Dönme 73

bulunur. ¸Simdi de,  12 de˘ gerini bulalım.

 12 = −2 1  4 +2 2  3
2
= −2 cos  sin  +2 sin 
= − sin 2 +  (1 − cos 2)
olur. Di˘ gerleri de, benzer ¸sekilde görülür.

Dönme Matrisinden Dönme Eksenini Belirleme

4.14 Teorem R  uzayda, n =(  ) vektörü etrafında,  açısı kadar dönmeyi ifade
bir matris ise, dönma açısı ve dönme matrisi arasında
izR  − 1
cos  =
2
e¸sitli˘ gi vardır. (Ayrıca bknz. Teorem 4.7)

¨ ¥
F Kanıt F
§ ¦
Uzayda, n =(  ) vektörü etrafında,  açısı kadar dönmeyi ifade bir matrisi (4.2) ile ver­
mi¸stik. Bu matrise göre, cos  =2 cos (2) − 1 özde¸sli˘ gi de kullanılarak,
2
¡ ¢  ¡ ¢  ¡ ¢ 
izR  =1 − 2 1 −  2 sin 2 +1 − 2 1 −  2 sin 2 +1 − 2 1 −  2 sin 2
2 2 2
2
2
=3 − 2sin 2  ¡ 1 −  +1 −  +1 −  2 ¢
2

2
=3 − 4sin
2

= −1+4 cos 2
2
= −1+2 (1+cos )
=1 + 2 cos 
elde edilir.

Örnek 4.7
Uzayda, u =(1 1 1) ekseni etrafında, 60 dönmeyi ifade eden dönme matrisini bulunuz.
◦
Çözüm : Birim dönme ekseni, yani dönmenin meydana geldi˘ gi düzleme dik olan birim normal vektör :
1
n =√ (1 1 1)
3
vektörüdür. O halde, istenen ¸sekildeki dönme,
i + j + k
q =cos 30 + √ sin 30 ◦
◦
3
kuaterniyonuna kar¸sılık gelen dönme matrisidir. Buna göre, (4.1) matrisinden,
⎡ ⎤
2 −1 2
1
R q = ⎣ 2 2 −1 ⎦
3
−1 2 2
elde edilir.