Page 52 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ

Kuaterniyonlar ve Küresel Geometri 51

Örnek 3.1
√
√
 =(1 0 0) ve  =(1 2 1 2 0) noktaları için,  ve  çember yaylarına kar¸sılık gelen
g
g
kuaterniyonları bulunuz.
√
√
−→
−−→
Çözüm :  = u =(1 0 0) ve  = v =(1 2 1 2 0) vektörleri için,  çember yayına,
g
p = vu −1 = hu vi +(u × v)
µ ¶
1 1 1 k
= √ + 0 0 √ = √ + √
2 2 2 2
kuaterniyonu kar¸sılık gelir.  çember yayına,
g
q = uv −1 = hv ui +(v × u)
µ ¶
1 −1 1 k
= √ + 0 0 √ = √ − √
2 2 2 2
= q −1
kuaterniyonu kar¸sılık gelir.
Örnek 3.2
1
p = √ (1 + i + k) kuaterniyonuna kar¸sılık gelen  büyük çember yayı için,  =
g
3
(0 1 0) ise  noktasını bulunuz.
Çözüm : Öncelikle  ve  noktalarının bulundukları düzlemin denklemini bulalım. Bu denklem, p
1
kuaterniyonunun vektörel kısmına dik olan düzlemdir. v p = √ (i + k) oldu˘ gundan, istenen düzlemin
3
orjinden geçece˘ gi de göz önüne alınırsa, düzlemin denklemi
 +  =0
bulunur. O halde,  noktası, (  −) formunda olacaktır. ¸Simdi de,
p =  −1 = h i +  × 
e¸sitli˘ gini kullanaca˘ gız. Buna göre,
¯ ¯
¯ i j k ¯
¯ ¯ 1
p = h(0 1 0)  (  −)i + ¯ 0 1 0 ¯ =( − 0 −)= √ (1 + i + k)
¯ ¯ 3
¯   − ¯
√ √
e¸sitli˘ ginden,  = −1 3 ve  =1 3 olur ki,
³ √ √ √ ´
 = −1 3 1 3 1 3
bulunur.

3.1 Alıştırma  =(1 0 0) ve  =(0 1 0) noktaları için,  ve  çember yaylarına kar¸sılık
g
g
gelen kuaterniyonları bulunuz.
Yanıt :  ↔ q = k ve  ↔ q = −k.


1

3.2 Alıştırma p = √ (1 + j + k) kuaterniyonuna kar¸sılık gelen  büyük çember yayı için,
g
3
√
√ ¢
¡
 = 0 1 2 −1 2 ise  noktasını bulunuz.
√ √ √
Yanıt :  =(− 63 66 − 66).