Page 46 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ

Kuaterniyonlar 45

Örnek 2.15
q =1 − i + j + k kuaterniyonunu üstel formda yazınız.

−i + j + k
Çözüm : q ∈ H için, n = √ olmak üzere,
3
q = 2 (cos 60 + n sin 60 )= 2 n3
◦
◦
¸ seklinde yazılabilir.

2.21 Alıştırma p = i + j + k kuaterniyonunu üstel formda yazınız.
√
1
Yanıt : p = 3 n2  n = √ (i + j + k) 
3

2.22 Alıştırma q =1 + i + 2j +2k kuaterniyonunu üstel formda yazınız.
√ √
Yanıt : q = 10 n arccos 1 10  n = 1 (i +2j +2k) 
2

Reel Kuaterniyonların Logaritması

Herhangi bir birim

q =cos  + n sin  ∈ H 1

kuaterniyonu için, diferansiyel alınırsa,
dq =(− sin  + n cos )d
= n (cos  + n sin )d
= nqd
elde edilir. Buradan, integrasyona geçilerek
Z Z
dq
= nd
q
e¸sitli˘ ginden,  ∈ R için,
ln q = n + 

olur. Ayrıca, bu e¸sitlikten de q kuaterniyonunun üstel gösteriminin

q =  n+ =  (cos  + n sin )
oldu˘ gu görülür. q birim iken  =0 olaca˘ gı açıktır. E˘ ger,

q = kqk (cos  + n sin )
alınırsa, bu iki e¸sitlikten


 = kqk ⇒  =ln kqk
olur. Buna göre, bir kuaterniyonun logaritması a¸sa˘ gıdaki gibi tanımlanır.