Page 42 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ

Kuaterniyonlar 41

√ 2i − j +2k
kqk = 10 oldu˘ gundan, n = olmak üzere,
3
√
q = 10 (cos (arctan 3) + n sin (arctan 3))
olacaktır. Buradan,
5
q 10 =10 (cos 10 (arctan 3) + n sin 10 (arctan 3))
elde edilir.

2.16 Alıştırma p = i + j + k kuaterniyonunun 10’uncu kuvvetini hesaplayınız.
 
5
1
Yanıt : p 10 =3 5 cos 5 + √ (i + j + k)sin 5 = −3 
3

2.17 Alıştırma q =1 + i + j + k kuaterniyonunun 10’uncu kuvvetini hesaplayınız.
 
10 10
1
9
Yanıt : q 10 =2 10 cos + √ (i + j + k)sin = −2 (1 + i + j + k).
3 3 3
Reel Kuaterniyonların Kökleri

¨ ¥
2.11 F Bir Kuaterniyonun n­inci Deredecen Kökleri F
§ ¦
Herhangi q = kqk (cos  + n sin ) reel kuaterniyonu için,
p  = q
e¸sitli˘ gini sa˘ glayan p kuaterniyonlarına, q kuaterniyonunun ­inci dereceden kökleri denilir
ve
√
p =  q
ile gösterilir. Kuaterniyonlar için de Moivre formülü kullanılarak bir kuaterniyonun kökleri
kolayca elde edilebilir. A¸sa˘ gıdaki teoremde bunu görebiliriz.

Kuaterniyonun n­inci Dereceden Köklerinin Bulunması

2.14 Teorem q = kqk (cos  + n sin ) reel kuaterniyonu için,

p  = q
e¸sitli˘ gini sa˘ glayan p kuaterniyonları :  =0 1 − 1 için,
µ ¶
p  +2  +2
p =  kqk cos + n sin
 
ile belirlidir. Buna göre, q ∈ R için, bir kuaterniyonunu  tane ­inci dereceden kökü
vardır.

¨ ¥
F Kanıt F
§ ¦
p ∈ H kuaterniyonunun kutupsal formu p = kpk (cos  + u sin ) olsun.