Page 43 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ

42 Kuaterniyonlar ve Geometri ­ Mustafa Özdemir

Bu durumda, p  = q ise,  ∈ N için, de Moivre formülünden


q = p = kpk (cos  + u sin )
olmalıdır.

kqk (cos  + n sin )= kpk (cos  + u sin )
e¸sitli˘ ginin söz konusu olabilmesi için,
u = n kqk = kpk  ve  +2 = 
olması gerekir ki, buradan,
µ ¶
p  +2  +2
p =  kqk cos + n sin
 
elde edilir.

Örnek 2.11
q =1 + i + j + k kuaterniyonunun üçüncü dereceden köklerini (küpkökünü) bulunuz.
1
Çözüm : kqk =2 oldu˘ gundan, q kuaterniyonu kutupsal formda, n =√ (i + j + k) olmak üzere,
3
 
³ ´
q =1 + i + j + k =2 cos + n sin
3 3
biçiminde yazılabilir. Buna göre,  =1 2 3 için,
µ ¶
√ 13 3+2 3+2
3 q =2 cos + n sin
3 3
olacaktır. O halde, kökler :
µ ¶ µ ¶
3 3 √ 1 1
13
3
q 0 =2 cos + n sin = 2 cos  + n sin  
3 3 9 9
µ ¶ µ ¶
3+2 3+2 √ 7 7
13
=2 cos + n sin = 3 2 cos  + n sin  
q 1
3 3 9 9
µ ¶ µ ¶
3+4 3+4 √ 13 13
13
=2 cos + n sin = 3 2 cos  + n sin 
q 2
3 3 9 9
elde edilir.
√ √
2.18 Alıştırma p =2 + 2i+ 2k kuaterniyonunun küp kökünü hesaplayınız.
 
◦
◦
√ 45 +2 45 +2
Yanıt : q  =2 2 cos + (101) · sin ,  =0 1 2
√
3 2 3
Not 2.12 E˘ger, q ∈ R ise, q’nun sonsuz çoklukta kuaterniyon kökü bulunabilir. Bu durumda,
 =0 olaca˘gından,  ≥ 3 için,
p  = kqk (cos 0 + n sin 0)
e¸sitli˘ginde, n’nin normu 1 olacak ¸sekilde seçilen herhangi bir
µ ¶
1 0+2 0+2
p = kqk cos + n sin
 
kuaterniyonu için, p  = q e¸sitli˘gi sa˘glanacaktır.