Page 101 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ

100 Kuaterniyonlar ve Geometri ­ Mustafa Özdemir

¨ ¥
˙
6.1 F Küresel Lineer Interpolasyon (Spherical Linear Interpolation) (SLERP) F
§ ¦
Birim küre üzerinde verilen  ve  noktaları için,  noktasından  noktasına, sabit hızla
giden bir nesnenin konumunu, 0 ≤  ≤ 1, 0 ≤  ≤  ve cos  = h i olmak üzere,
sin ( (1 − )) (sin )
SLERP (  )=  + 
sin  sin 
e¸sitli˘ giyle verebiliriz. Bu e¸sitli˘ ge, küresel lineer interpolasyon denir ve kısaca SLERP ile
gösterilir.  =0 alınırsa,

SLERP (  0) = 
 =1 alınırsa,
SLERP (  1) = 
noktası elde edilir.

SLERP Dönü¸sümü

6.1 Teorem   küre üzerinde iki nokta olmak üzere, her  ∈ [0 1] için,
sin ( (1 − )) (sin )
SLERP (  )=  + 
sin  sin 
e˘ grisiyle elde edilen nokta yine küre üzerindedir.

¨ ¥
F Kanıt 2 F
§ ¦
Verilen e¸sitli˘ gi basitle¸stirmek için,
sin ( (1 − )) (sin )
=  ve = 
sin  sin 
diyelim. kk = kk =1 ve cos  = h i oldu˘ gundan, kSLERP (  1)k =  denilirse,

q
2
2
2
2
kSLERP (  1)k =  kk +2 h i +  k k
q
2
 =  +2 cos  +  2
elde edilir. Düzenlenirse,
2
2
sin ( (1 − )) µ sin ( (1 − )) ¶µ (sin ) ¶ ¡ sin  ¢
2
 = +2 cos  +
2
2
sin  sin  sin  sin 
e¸sitli˘ ginden,
1 ¡ ¡ ¢¢
2
2
2
 = 2 sin ( (1 − )) + 2 sin ( (1 − )) (sin )cos  + sin 
sin 
olacaktır.
2
sin ( − )=(sin  cos  − sin  cos ) 2
2
2
2
2
=cos  sin  +sin  cos  − 2cos  sin  cos  sin 