Page 102 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ

Küresel Lineer ˙ Interpolasyon (SLERP) 101

ve
2sin ( (1 − )) (sin )cos  =2 (sin  cos  − sin  cos )(sin )cos 
2
2
=2 cos  sin  cos  sin  − 2sin  cos 
oldu˘ gundan,
1 ¡ ¢
2
2
2
2
2
2
2
 2 = cos  sin  +sin  cos  − 2sin  cos  +sin 
2
sin 
1 ¡ ¢
2
2
2
2
2
= cos  sin  − sin  cos  +sin 
2
sin 
1 ¡ ¢
2
2
2
2
= cos  sin  +sin  sin 
2
sin 
2
sin 
=
2
sin 
=1
oldu˘ gu görülür.
SLERP Dönü¸sümü Sabit Hızlıdır.
6.2 Teorem   küre üzerinde iki nokta olmak üzere, her  ∈ [0 1] için,
sin ( (1 − )) (sin )
SLERP (  )=  + 
sin  sin 
e˘ grisi sabit hızlı bir e˘ gridir. Hatta,
° °
°  °
° SLERP (  1) = 
°

° °
ile belirlidir.
¨ ¥
F Kanıt 2 F
§ ¦
Türev alınırsa,
 
SLERP (  1) = (− cos ( (1 − ))  +(cos ) )
 sin 
olu. Parantez içindeki ifade
− cos ( − )  +(cos )  = − (cos  cos  +sin  sin )  +(cos ) 
yazılabilir. Buradan,  = − (cos  cos  +sin  sin ) ve  = (cos ) olmak üzere,
° ° ¯ ¯
°  ° ¯  ¯ p
2
2
° SLERP (  1) ° = ¯ ¯  +  +2 h i
 sin 
° ° ¯ ¯
¯ ¯
¯  ¯ p
2
2
= ¯ ¯  +  +2 cos 
sin 
¯ ¯
olacaktır. Böylece,
 2 = (cos  cos  +sin  sin ) 2
2
2
2
2
=cos  cos  +2 cos  sin  cos  sin  +sin  sin 
2
 2 =cos 