Page 107 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ

Kuaterniyonlar Kümesinin Cebirsel

Özellikleri

Önceki bölümlerde kuaterniyonlarda çarpma i¸sleminin kapalı oldu˘ gu ve birle¸sme özelli˘ ginin
sa˘ glandı˘ gını, birim elemanın e =1 oldu˘ gunu, her elemanın tersinin
q
q −1 =
2
kqk
ile belirli oldu˘ gunu gördük. Fakat, kuaterniyon çarpımının de˘ gi¸smeli olmadı˘ gını gördük, buna
göre a¸sa˘ gıdaki teoremi yazabiliriz.

Kuaterniyon Kümesinin Cebirsel Özellikleri

7.1 Teorem H kuaterniyonlar kümesi olmak üzere, "+" ile kuaterniyon toplama
i¸slemi, "·" ile kuaterniyon çarpma i¸slemini gösterelim.
1. (H +) kuaterniyonlar kümesi bir abel grubudur.
2. H = H\{0} olmak üzere, (H ·) kümesi de˘ gi¸smeli olmayan bir gruptur.
∗
3. (H + ·) kuaterniyonlar kümesi de˘ gi¸smeli olmayan bir halkadır.

¨ ¥
F Kanıt F Ö˘ grenciye bırakılmı¸stır.
§ ¦

Birim Kuaterniyonlar Altgrubu

7.2 Teorem Birim kuaterniyonların olu¸sturdu˘ gu

3
S = {q ∈ H : kqk =1}
kümesi, kuaterniyon çarpımına göre bir gruptur. Bu grubu H 1 ile de göstermi¸stik. Bu
grup, kuaterniyonlar grubunun bir altgrubudur.

¨ ¥
F Kanıt F
§ ¦
i. Kapalılık : p q ∈ S ise, kqk = kpk =1 oldu˘ gundan, ∈ H elemanı için
3
kpqk = kpkkqk =1
oldu˘ gundan, ∈ S olur. O halde, S kümesi, kuaterniyon çarpımına göre kapalıdır.
3
3
ii. Birle¸sme özelli˘ gi : H kuaterniyonlar kümesinde sa˘ glandı˘ gından, daha özel S kümesi için
3
de sa˘ glanır.
iii. Birim eleman : Her q ∈ S için, e =1 ∈ S elemanı
3
3
qe = eq = q
oldu˘ gundan, e =1 kuaterniyonu birim kuaterniyondur.