Page 110 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ

Kuaterniyonlar Kümesinin Cebirsel Özellikleri 109

¨ ¥
F Kanıt F
§ ¦
q =  1 +  2 i +  3 j +  4 k için,
 : S 3 → SU (2) 
∙ ¸
 1 +  2  3 +  4
q →  (q)=
− 3 +  4  1 −  2
dönü¸sümünü göz önüne alalım. q ∈ S ise,
3
2
2
2
2
 +  +  +  =1
2
3
1
4
olacaktır ve
∙ ¸ ∙ ¸
 1 +  2  3 +  4  1 −  2 − 3 −  4 
∗
 (q)  (q)=
− 3 +  4  1 −  2  3 −  4  1 +  2
∙ 2 2 2 2 ¸
 +  +  +  0
= 1 2 3 4
2
2
2
0  +  +  +  2 4
2
1
3
∙ ¸
10
=
01
oldu˘ gundan,  dönü¸sümü iyi tanımlıdır. ¸Simdi,
 (pq)=  (p)  (q)
3
oldu˘ gunu gösterelim. q =  1 +  2  +  3  +  4  ve p =  1 +  2  +  3  +  4  ∈ S için,
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
 1 − 2 − 3 − 4  1  1  1 −  2  2 −  3  3 −  4  4  1
⎢  2  1 − 4  3 ⎥ ⎢  2 ⎥ ⎢  1  2 +  2  1 −  3  4 +  4  3 ⎥ ⎢  2 ⎥
qp = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥
⎣  3  4  1 − 2 ⎦ ⎣  3 ⎦ ⎣  1  3 +  3  1 +  2  4 −  4  2 ⎦ ⎣  3 ⎦
 4 − 3  2  1  4  1  4 −  2  3 +  3  2 +  1  4  4
oldu˘ gundan,
 1 +  2 =  1  1 −  2  2 −  3  3 −  4  4 +  1  2 +  2  1 −  3  4 +  4  3
=( 1  1 −  2  2 +  1  2 +  2  1 ) − ( 3  3 +  4  4 +  3  4 −  4  3 )
=( 1 +  2 )( 1 +  2 ) − ( 3 +  4 )( 3 −  4 )
ve di˘ gerleri için benzer i¸slemler yapılarak,
∙ ¸
 1 +  2  3 +  4
 (qp)=
− 3 +  4  1 −  2
∙ ¸ ∙ ¸
=  1 +  2  3 +  4  1 +  2  3 +  4
− 3 +  4  1 −  2 − 3 +  4  1 −  2
=  (q)  (p)
oldu˘ gu görülür. Di˘ ger yandan,
∙ ¸ ∙ ¸
 1 +  2  3 +  4  1 +  2  3 +  4
 (p)=  (q) ⇔ =
− 3 +  4  1 −  2 − 3 +  4  1 −  2
∙ ¸ ∙ ¸
 1 +  2 =  1 +  2  3 +  4 =  3 +  4
⇔ ve
 1 −  2 =  1 −  2 − 3 +  4 = − 3 +  4
⇔  1 =  1  2 =  2  3 =  3  4 =  4
⇔ p = q
oldu˘ gundan,  dönü¸sümü birebir dönü¸sümdür.