Page 115 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ
P. 115
114 Kuaterniyonlar ve Geometri Mustafa Özdemir
¨ ¥
8.5 F Pozitif, Negatif Tanımlı ve Nondejenere Bilineer Form F
§ ¦
B : V × V → F bilineer formuna
i. Sıfırdan farklı her x ∈ V için B (x x) 0 ise pozitif tanımlı,
ii. Sıfırdan farklı her x ∈ V için B (x x) 0 ise negatif tanımlı,
iii. Sıfırdan farklı her x ∈ V için B (x y)=0 olması y =0 olmasını gerektiriyorsa (Bir
ba¸ska deyi¸sle sıfırdan farklı her vektöre dik olan tek vektör sıfır vektörü ise) nondejenere
bilineer form denir.
Örnek 8.3
2
V = R F = R olsun ve x =( 1 2 ) ∈ R y =( 1 2 ) ∈ R olmak üzere
2
2
B 2 (x y)= − 1 1 − 2 2
¸ seklinde tanımlanan dönü¸süm bilineer formdur ve
∙ ¸ ∙ ¸
¤ −1
£ 0 1
2 (x y)= 1 2 = x y
0 −1 2
¸ seklinde yazılabilir. Burada matrisi simetrik oldu˘ gundan B 2 de simetriktir ve her x =( 1 2 ) ∈ R 2
için B 2 (x x)= − − 0 oldu˘ gundan B 2 negatif tanımlı bilineer formdur.
2
2
1
2
Örnek 8.4
2
V = R F = R olsun ve x =( 1 2 ) ∈ R y =( 1 2 ) ∈ R olmak üzere
2
2
B 3 (x y)= 1 1 − 2 2
¸ seklinde tanımlanan dönü¸süm bilineer formdur ve
∙ ¸ ∙ ¸
¤ 1
£ 0 1
B 3 (x y)= 1 2 = x y
0 −1 2
¸ seklinde yazılabilir. Burada matrisi simetrik oldu˘ gundan B 3 de simetriktir ve her x =( 1 2 ) ∈ R 2
için B 3 (x x)= − 0 oldu˘ gundan B 3 ne pozitif, ne de negatif tanımlıdır.
2
2
2
1
¨ ¥
8.6 F Kuadratik Form F
§ ¦
V birvektöruzayı ve F bir cisim olmak üzere : V → F dönü¸sümü, her x ∈ V ve ∈ F
için
2
(x)= (x)
e¸sitli˘ gini sa˘ glıyorsa q dönü¸sümüne kuadratik form denir.
Örnek 8.5
2
V = R F = R olsun ve x =( 1 2 ) ∈ R olmak üzere
2
2
(x)= − 2 1 2 + 2 2
1
2
¸ seklinde tanımlanan dönü¸süm kuadratik formdur. Gerçekten, her x =( 1 2 ) ∈ R ve ∈ R için
2 2 2 ¡ 2 2 ¢ 2
(x)= ( 1 ) − 2( 1 )( 2 )+ ( 2 ) = − 2 1 2 + 2 = (x)
1
olur.
