Page 118 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ
P. 118
Clifford Cebiri ve Kuaterniyonlar 117
Örnek 8.9
V = R olmak üzere x =( 1 2 ) ∈ R için
2
2
2
(x)= + 1 2 + 2
1 2
¸ seklinde tanımlanan bir kuadratik form olsun. Bu kuadratik form ile donatılmı¸s R vektör uzayı tarafın
2
dan üretilen Clifford cebirini bulalım.
¡ ¢
2
2
Çözüm : {e 1 =(1 0) e 2 =(0 1)} kümesi, R uzayının bir ortogonal tabanı olmak üzere R
{1 e 1 e 2 e 1 e 2 }
kümesi tarafından (81) ve (82) özelliklerini kullanarak üretilir. O halde
2
e = ((1 0)) = 1
1
2
e = ((0 1)) = 1
2
e 1 e 2 + e 2 e 1 =2B (e 1 e 2 )= (e 1 + e 2 ) − (e 1 ) − (e 2 )
= ((1 1)) − ((1 0)) − ((0 1)) = 1+1+1 − 1 − 1
=1
¡ ¢
2
olarak bulunur ve birle¸sme özelli˘ gini kullanarak a¸sa˘ gıdaki çarpım tablosu üretilebilir. Yani, R
cebiri
· 1 e 1 e 2 e 1 e 2
1 1 e 1 e 2 e 1 e 2
1
e 1 e 1 e 1 e 2 e 2
1
e 2 e 2 1 − e 1 e 2 e 2 − e 1
e 1 e 2 e 1 e 2 e 1 − e 2 e 1 1
i¸slem tablosu ile üretilen birle¸smeli cebirdir ve
¡ 2 ¢ 2 2 ª
R = { 0 + 1 e 1 + 2 e 2 + 3 e 1 e 2 : ∈ R (=0 1 2 3) e = e = e 1 e 2 + e 2 e 1 =1
1 2
¸ seklinde gösterilebilir.
¡ ¡ 2 ¢¢ 2
boy R =2 =4
oldu˘ gu görülür. Bu cebir nondejenere de˘ gildir. Gerçekten, x =( 1 2 ) ∈ R y =( 1 2 ) ∈ R için
2
2
1
B (x y)= ( (( 1 + 1 2 + 2 )) − (( 1 2 )) − (( 1 2 )))
2
1 ³ 2 2 2 2 2 2 ´
= ( 1 + 1 ) +( 1 + 1 )( 2 + 2 )+( 2 + 2 ) − − 1 2 − − − 1 2 − 2
2
1
1
2
³ ´ ³ ´
2 1
= 1 1 + + 2 − 2
2 2
olarak bulunur. Sıfırdan farklı her x =( 1 2 ) ∈ R için B (x y)= 0 olsun. Bu durum
2
µ ¶
4 2 4 2
y = 2 − 1 1 + 2 6=0
5 5 5 5
iken sa˘ glandı˘ gından bu cebir nondejenere de˘ gildir.
Nondejenere Kuadratik Formlar
+ boyutlu reel vektör uzayında x =( 1 2 +1 + ) olmak üzere
2
2
2
(x)= − − − ··· − + 2 + 2 + ··· + 2
2
1
+1
+2
+
bir nondejenere kuadratik formdur. Burada ( ) ikilisine kuadratik formun i¸sareti denir.
Bu kuadratik form ile birlikte reel vektör uzayı R + ile gösterilir.
