Page 123 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ

Kuaterniyonlar ve Dört Boyutlu Uzayda

Dönme

Kuaterniyonlar yardımıyla, dört boyutlu dönmeleri de incelemek mümkündür. Fakat, öncelikle
Öklid uzayında dört boyutlu dönmeler hakkında bazı uygulamalarla birlikte bilgiler verelim.
Dört boyutlu uzaydaki dönmelerde bir vektörün iki düzlem bile¸seninden biri dönerken di˘ geri
de˘ gi¸smez. Yani dönme bir düzlemde gerçekle¸sirken bu düzleme dik olan di˘ ger düzlemdeki
vektörler de˘ gi¸smez. Bu nedenle dört boyutta dönme ekseni kavramının yerini dönme nor­
mal (eksen) düzlemi veya düzlemleri alır. Çünkü iki farklı düzlemde dönme de mümkündür.
Dönme düzlemlerinin sayısı ve dönme açısına göre, dönmeler sınıflandırılır.

Dört Boyutlu Dönmeler

Dört boyutlu Öklid uzayında, dönme hareketlerinin grubu, yani dönme matrislerinin kümesi
SO(4) ile gösterilir. Dört boyutlu dönmeler üç kısımda kar¸sımıza çıkarlar :
F 1. Basit Dönme
˙
F 2. Ikili (Double) Dönme
˙
˙
F 3. Izoklinik (Isoclinic) Ikili Dönme
¸ Simdi bu dönme çe¸sitlerini sırasıyla örnekler vererek inceleyelim.

¨ ¥
9.1 F 4­Boyutlu Basit Dönme (4D Simple Rotation) F
§ ¦
Basit dönme, sadece bir tek düzlemde olu¸san dönmedir. Bu durumda, dönme bir düzleme dik
di˘ ger düzlemde gerçekle¸sir. Dönmenin gerçekle¸sti˘ gi düzleme dönme düzlemi, bu düzleme
dik olan düzleme de dönme eksen düzlemi denir. Örne˘ gin, {   } koordinat sistemine
göre,

⎡ ⎤
1 0 0 0
⎢ 0cos  − sin  0 ⎥
R  = ⎢ ⎥
⎣ 0sin  cos  0 ⎦
0 0 0 1
matrisi,  düzleminde  açısı kadar dönmeyi gösterir. Bu bir tek dönme içerdi˘ ginden
basit dönmedir. Bu dönmenin dönme eksen düzlemi ise  düzlemidir. Yani, dönme
hareketi  düzlemine dik düzlemde gerçekle¸sir. Bu dönme ile, bir noktanın sadece 
ve  koordinatları de˘ gi¸sir,  ve  koordinatları ise sabit kalır. Basit dönme matrislerinin

özde˘ gerleri   − ve 1’dir. 1 özde˘ gerine kar¸sılık gelen özvektörlerin uzayı, dönme eksen
düzlemidir. Dönme bu düzleme dik düzlemde oldu˘ gu için, bu düzleme dönmenin normal
düzlemi de denir. Normal düzlemi V  ile gösteririz. Ayrıca, dönmenin meydana geldi˘ gi
dönme düzlemi de V  ile gösterilir.

© ª

NOT : R ∈ SO (4) matrisinin özde˘ gerleri 1  − ise R bir basit dönme matrisidir. Basit
dönme matrisini tek dönme açısını alt indis olarak yazarak, R  biçiminde ifade ederiz.