Page 125 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ

124 Kuaterniyonlar ve Geometri ­ Mustafa Özdemir

¨ ¥
˙
9.2 F 4­Boyutlu Ikili Dönme (4 D Double Rotation)F
§ ¦
˙ Ikili dönme, farklı iki düzlemde olan dönmelerdir. Bu durumda, sadece bir dönme eksenin­
den söz edilmez. Dönme düzlemleri birbirine ortogonal ve tek türlü belirlidir. Örne˘ gin,
{   } koordinat sistemine göre,
⎡ ⎤
cos  1 0 0 − sin  1
⎢ 0 cos  2 − sin  2 0 ⎥
= ⎢ ⎥
R  1 2
⎣ 0 sin  2 cos  2 0 ⎦
sin  1 0 0 cos  1
matrisi, iki farklı dönme içerir; birincisi  düzlemindeki  1 açısı kadar dönme, ikin­
˙
cisi de  düzlemindeki  2 açısı kadar dönmedir. Ikili dönme matrislerinin özde˘ gerleri
  1  − 1   2 ve  − 2 ile belirlidir. Birinci dönme,   1  − 1 özde˘ gerlerine kar¸sılık gelen
özvektörlerin gerdi˘ gi düzlemde gerçekle¸sen dönme, ikinci dönme de   2 ve  − 2 özde˘ ger­
lerine kar¸sılık gelen özvektörlerin gerdi˘ gi düzlemde gerçekle¸sir. Buna göre, herhangi bir 
vektörünün iki farklı dönme düzlemine göre bile¸senleri belirlenerek, dönmenin bir bile¸senin
koordinatını de˘ gi¸stirirken, di˘ gerinin koordinatlarını sabit bıraktı˘ gı görülebilir. Bu dönmelerin
her ikisinde de dönme açısı aynı oldu˘ gunda bu dönmeye izoklinik dönme denir. A¸sa˘ gıda
detaylı incelenmi¸stir.

© ª
NOT : R ∈ SO (4) matrisinin özde˘ gerleri   1  − 1   2  − 2 ise R bir ikili dönme matrisidir.
˙ biçiminde ifade ederiz.
Ikili dönme matrisini iki dönme açısını alt indis olarak yazarak, R  1  2

Dört Boyutlu Uzayda Basit Dönmede Dönme Açısı

9.2 Teorem R  1 2 bir ikili dönme matrisi, V  1 ve V  2 dönme düzlemleri ve  1  2
4
∈ R vektörü için, x ile R (x)
dönme açıları olmak üzere, herhangi x = x  1 + x  2
arasındaki açı  ise,
2 2
k cos  2
kx  1
k cos  1 + kx  2
cos  =
2 2
k
kx  1 k + kx  2
e¸sitli˘ gi sa˘ glanır.
¨ ¥
F Kanıt F
§ ¦
olmak üzere,
x  2 ∈ V  1 ve x  1 ∈ V  2
x = x  1 + x  2
vektörleri, kendi bulundukları düzlemde sırasıyla  1 ve  2 açısı kadar
olsun. x  1 ve x  1
döndüklerinden,
)i hx  2  R (x  2 )i
hx  1
cos  1 = 2 ve cos  2 = 2
 R (x  1
k k
kx  1 kx  2
e¸sitlikleri sa˘ glanır. Buna göre,
)
R (x)= R (x  1 )+ R (x  2