Page 127 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ

126 Kuaterniyonlar ve Geometri ­ Mustafa Özdemir

döndüklerinden,

)i hx  2  R (x  2 )i
cos  = 2 = 2
hx  1
 R (x  1
k k
kx  1 kx  2
e¸sitlikleri sa˘ glanır. Buna göre,
)
R (x)= R (x  1 )+ R (x  2
oldu˘ gundan,
hx R (x)i hx  1 + x  2  R (x  1 )+ R (x  2 )i
=
kxkkR (x)k k 2
kx  1 + x  2
)i
hx  1
 R (x  2
)i + hx  2
 R (x  1
=
2 2
k
kx  1 k + kx  2
2 2
kx  1 k cos  + kx  2 k cos 
=
2 2
k
kx  1 k + kx  2
=cos 
oldu˘ gu görülür.
Örnek 9.1
(Basit Dönmeye Bir Örnek)
⎡ ⎤
4 −10 −8
1 ⎢ −7 4 0 −4 ⎥
R = ⎢ ⎥ ∈ SO (4)
9 ⎣ 0 0 9 0 ⎦
4 8 0 1
dönme matrisinin belirtti˘ gi dönme türünü belirtiniz.
b) Dönme açısını ve V  dönme eksen düzlemini bulunuz.
c) Bu dönme matrisi hangi noktaların koordinatlarını de˘ gi¸stirmez.
d) Dönmenin meydana geldi˘ gi V  düzlemi belirleyiniz.
e) x =(1 2 3 7) vektörü, için R (x) vektörünü bulunuz ve yorumlayınız. Dönme açısı  ise,

hx R (x)i
cos  =
kxkkR(x)k
e¸sitli˘ ginin do˘ gru olmadı˘ gını görünüz. Nedenini açıklayınız.
f) x = x  + x  vektörünün, x  ∈ V  ve x  ∈ V  bile¸senlerini bulunuz.

hx   R (x  )i
cos  =
kx  kkR(x  )k
e¸sitli˘ ginin sa˘ glandı˘ gını görünüz.
2
2
g)  ile x veR (x) vektörleri arasındaki açı gösterilmek üzere, kx  k =  kx  k =  için,
 − ( + )cos 
cos  =
 (2 cos  − 1)
e¸sitli˘ ginin sa˘ glandı˘ gını görünüz.
2
¢
¡
Çözüm : a) R matrisinin karakteristik polinomu :  ()=  +1 ( − 1) oldu˘ gundan, özde˘ gerleri
2
1 − olur. Yani, özde˘ gerleri  2  −2  1 bulunur. Özde˘ gerlerden biri 1 oldu˘ gundan, sabit bir
düzlem vardır ve bir tek dönme söz konusudur. Yani, bu bir basit dönmedir.
b) Dönme açısı  = 2 olur. Dönme eksen düzlemi ise, 1 özde˘ gerine kar¸sılık gelen özvektörlerin