Page 131 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ
P. 131
130 Kuaterniyonlar ve Geometri Mustafa Özdemir
⎡ ⎤
10 0 −1
√
2 ⎢ 01 −1 0 ⎥
9.2 Alıştırma R = ⎢ ⎥ ∈ SO (4) dönme matrisinin belirtti˘ gi dönme
2 ⎣ 01 1 0 ⎦
10 0 1
türünün izoklinik oldu˘ gunu görünüz.
b) Dönme açısını bulunuz.
c) Dönmenin meydana geldi˘ gi iki ortogonal dönme düzlemi belirleyiniz.
d) x =(1 2 3 4) vektörü, için R (x) vektörünü bulunuz. Dönme açısı ise,
hx R (x)i
cos =
kxkkR(x)k
e¸sitli˘ ginin do˘ gru oldu˘ gunu görünüz.
Yanıt : a) ˙ Izoklinik dönme, özde˘ gerler 4 −4 b) 1 = 2 = 4 c) V 1 =Sp {(0 0 1 0) ; (0 1 0 0)}
=Sp {(0 0 0 1) ; (1 0 0 0)} alınabilir (tek türlü de˘ gildir).
V 2
(Not : Özvektörler : 4 ↔ {(0 1 0) ; ( 0 0 1)} −4 ↔ {(0 − 1 0) ; (− 0 0 1)}
Örnek 9.3
˙
(Ikili Dönmeye Bir Örnek)
⎡ ⎤
−1 1 1 −1
1 ⎢ 1 −1 1 −1 ⎥
R = ⎢ ⎥ ∈ SO (4)
2 ⎣ −1 −1 1 1 ⎦
−1 −1 −1 −1
dönme matrisinin belirtti˘ gi dönme türünün ikili dönme oldu˘ gunu görünüz.
b) Dönme açılarını bulunuz.
dönme düzlemlerini tek türlü olarak belir
c) Dönmenin meydana geldi˘ gi iki ortogonal V 1 ve V 2
leyiniz.
d) x =(1 2 3 7) vektörü, için R (x) vektörünü bulunuz ve x ile R (x) arasındaki açıyı bulunuz.
bile¸senlerini bulunuz.
e) x = x 1 + x 2 vektörünün, x 1 ∈ V 1 ve x 2 ∈ V 2
)i )i
hx 1 R (x 1 hx 2 R (x 2
cos 1 = cos 2 =
)k )k
kx 1 kkR(x 1 kx 2 kkR(x 2
e¸sitliklerinin sa˘ glandı˘ gını görünüz.
2 k = için,
2
f) ile x veR (x) vektörleri arasındaki açı gösterilmek üzere, kx 1 k = kx 2
cos 1 + cos 2
cos =
+
e¸sitli˘ ginin sa˘ glandı˘ gını görünüz.
Çözüm : a) R matrisinin karakteristik polinomu :
¡ 2 ¢ 2
()= − +1 ( +1)
√
1 3
oldu˘ gundan, özde˘ gerleri ± −1 −1 olur. Yani, özde˘ gerleri 3 −3 − bulunur. O
2 2
halde, bu dönme bir ikili dönmedir ve iki farklı dönme düzlemi vardır. Dönme açıları da farklıdır.
b) Dönme açıları 1 = 3 ve 2 = olur.
c) Dönme düzlemlerini bulalım. R matrisinin özvektörlerinin
⎧⎡ ⎤⎫ ⎧⎡ ⎤⎫ ⎧⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎫
−1 −1 −1 1
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬
⎢ −1 ⎥ 3 ⎢ −1 ⎥ −3 ⎢ 1 ⎥ ⎢ 0 ⎥
⎢ √ ⎥ ↔ ⎢ √ ⎥ ↔ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ↔
⎣ − 3 ⎦ ⎣ 3 ⎦ ⎣ 0 ⎦ ⎣ 0 ⎦
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎩ ⎭ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭
1 1 0 1
