Page 134 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ

Kuaterniyonlar ve Dört Boyutlu Uzayda Dönme 133

3.  p matrisinin karakteristik polinomu :
⎡ ⎤
 −  1  2  3  4
⎢ − 2  −  1  4 − 3 ⎥
 ()=det ( −  p )=det ⎢ ⎥
⎣ − 3 − 4  −  1  2 ⎦
− 4  3 − 2  −  1
ile belirlidir. Bu determinant hesaplanırsa,
¢
¡ 2 2 2 2 2 2
 ()=  − 2 1 +  +  +  +  4
1
3
2
olur ki, buradan özde˘ gerler çift katlıdır ve
q
2
2
2
 12 =  1 ± − −  −  =  1 ±kvk 
2 3 4
p
2 2 2 2 2
ile belirlidir. p birim ise, − −  −  =  − 1 oldu˘ gundan, özde˘ gerler  1 ±  − 1 olur.
1
2
3
1
4
 p matrisi için de, aynı de˘ gerler elde edilecektir.
˙
Kuaterniyonlar ve Dört Boyutlu Izoklinik Dönmeler
9.5 Teorem p =  1 +  2  +  3  +  4  =cos  + n sin  birim kuaterniyonu için,
 p : H → H,  p : H → H,
q → pq q → qp
biçiminde tanımlanan lineer dönü¸sümlere kar¸sılık gelen  p ve  p dönme matrisleri, R 4
uzayında iki farklı düzlemde  açısı kadar dönme hareketi yaptıran bir izoklinik dönme
matrisi belirtir. Bu dönme matrislerine sırasıyla sol ve sa˘ g izoklinik dönme matrisleri
de denir.

¨ ¥
F Kanıt 2 F
§ ¦
n =(  ) birim vektör olmak üzere, p =cos  + n sin  ise,
⎡ ⎤
cos  − sin  − sin  − sin 
⎢  sin  cos  − sin   sin  ⎥
 p = ⎢ ⎥
⎣  sin   sin  cos  − sin  ⎦
 sin  − sin   sin  cos 
olacaktır. Bu matrisin determinantı,  +  +  =1 oldu˘ gu da göz önüne alınırsa,
2
2
2
det  p =1
bulunur. Di˘ ger yandan,


 p  =   p = 
p
p
oldu˘ gunu da kolayca görebiliriz. O halde,  p ∈ SO (4) olur. Bu matrisinin karakteristik
polinomunun
¡ ¢ 2
2
 ()=  − 2 cos  +1
© ª

oldu˘ gu bulabilir. Buna göre,  p dönme matrisinin özde˘ gerleri   − olacaktır.
Ayrıca,  p matrisinin özde˘ gerleri, bir önceki teoremde  1 =cos   2 =  sin   3 =  sin 