Page 135 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ

134 Kuaterniyonlar ve Geometri ­ Mustafa Özdemir

ve  4 =  sin  yazılarak,
q
2
2
2
 12 =  1 ± − −  −  =cos  ±knk  sin 
3
4
2
e¸sitli˘ ginden,
cos  ±  sin  =  ±
© ª

elde edilebilir. O halde,  p dönme matrisinin özde˘ gerleri   − oldu˘ gundan, dönme açısı
 olan bir izoklinik dönme matrisidir.  p matrisi için de benzer ¸sekilde kanıt yapılır.
¨ ¥
˙
9.4 F 4­Boyutlu Sol Izoklinik Dönme Matrisi F
§ ¦
Herhahngi bir p birim kuaterniyonuna kar¸sılık gelen
⎡ ⎤
 1 − 2 − 3 − 4
⎢  2  1 − 4  3 ⎥
 p = ⎢ ⎥
⎣  3  4  1 − 2 ⎦
 4 − 3  2  1
˙
sol çarpım matrisine, dört boyutlu Öklid uzayında sol izoklinik dönme matrisi denir. Izo­
klinik dönmelerde, dönmelerin gerçekle¸sti˘ gi birbirine dik sonsuz sayıda düzlem çifti belir­
lenebilir.

¨ ¥
˙
9.5 F 4­Boyutlu Sol Izoklinik Dönme Matrisinin Kutupsal Formu F
§ ¦
 p sol izoklinik dönme matrisi için, n =(  ) birim vektör olmak üzere, p =cos  +
n sin  kuaterniyonu alınırsa,
⎡ ⎤
cos  − sin  − sin  − sin 
⎢  sin  cos  − sin   sin  ⎥
 p = ⎢ ⎥ (9.1)
⎣  sin   sin  cos  − sin  ⎦
 sin  − sin   sin  cos 
yazılabilir.  p matrisinin bu biçimdeki yazılı¸sına,  p sol çarpım matrisinin kutupsal
formu denir. Benzer tanımlar sa˘ g çarpım matrisleri için de tanımlanabilir.

Not : n =(  ) birim vektör olmak üzere, p =cos  + n sin  kuaterniyonu için, sol izoklinik
dönme matrisinin özvektörleri
⎧⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎫ ⎧⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎫
 −   +  − −  − + 
⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎨ ⎬ ⎨ ⎬
⎢  +  ⎥ ⎢ − +  ⎥  ⎢ − +  ⎥ ⎢  +  ⎥ −


⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ↔   ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ↔ 
⎣ 1 −  2 ⎦ ⎣ 2
⎪ 0 ⎦ ⎪ ⎪ ⎣ 1 −  ⎦ ⎣ 0 ⎦ ⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎩ 2 ⎭ ⎩ 2 ⎭
0 1 −  0 1 − 
oldu˘ gundan,
©¡ 2 ¢ ª
=Sp −  1 −   0 ;(  0 0)
V  1
© ¡ 2 ¢ ¡ 2 ¢ ¡ 2 2 ¢ ª
= (   ):   − 1  −   − 1  −   +   =0
©¡ 2 ¢ ª
=Sp   0 1 −  ;  ( − 0 0)
V  2
© ¡ 2 ¢ ¡ 2 ¢ ¡ 2 2 ¢ ª
= (   ):   − 1  +   − 1  +   +   =0
biçiminde, birbirine ortogonal iki düzlem kolayca belirlenebilir.