Page 140 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ
P. 140

Kuaterniyonlar ve Dört Boyutlu Uzayda Dönme                                   139


              ¨           ¥
               F Kanıt F
              §           ¦
              Matris çarpımlarından do˘ grudan hesaplanabilir.




               9.9 Alıştırma  Y q : H → H,  Y q (p)= qpq  ve  D q : H → H,  D q (p)= qpq dönü¸süm­
              lerinin lineer oldu˘ gunu kanıtlayınız.
              Yanıt : Y q (p + r)= q (p + r)q =qpq + qrq =Y q (p)+ Y q (r).Di˘ gerini de gösteriniz.


              Sonuç 9.1 E˘ger, q =  1 +  2 i +  3 j +  4 k ∈ H 1 bir birim kuaterniyon ise,
                            ⎡                                                         ⎤
                              1          0                 0                 0
                                       2
                                  2
                                            2
                            ⎢  0  +  −  −   2   −2 1  4 +2 2  3  2 1  3 +2 2  4  ⎥
                      D q =  ⎢    1    2    3   4   2    2    2   2                   ⎥
                            ⎣  0   2 1  4 +2 2  3   −  +  −  4  −2 1  2 +2 3  4  ⎦
                                                              3
                                                         2
                                                    1
                                                                      2
                                                                                2
                                                                           2
                              0   −2 1  3 +2 2  4  2 1  2 +2 3  4   −  −  +  4 2
                                                                      1
                                                                                3
                                                                           2
              olacaktır. Görüldü˘gü gibi, D q dönü¸sümü, bir kuaterniyonun skaler kısmını de˘gi¸stirmez.
              O halde, has kuaterniyon, yani bir vektör için, R q : R → R ¸seklinde tanımlanan dönü¸süm,
                                                             3
                                                                   3
                              ⎡  2    2   2    2                                    ⎤
                                 +  −  −   4   −2 1  4 +2 2  3  2 1  3 +2 2  4
                                      2
                                          3
                                 1
                                                            2
                                                        2
                                                   2
                         R q =  ⎣  2 1  4 +2 2  3   −  +  −  4 2  −2 1  2 +2 3  4  ⎦
                                                            3
                                                        2
                                                   1
                                                                              2
                                                                     2
                                                                          2
                                 −2 1  3 +2 2  4  2 1  2 +2 3  4   −  −  +  4 2
                                                                              3
                                                                     1
                                                                          2
              bulunur. Bu ise, Teorem 4.12’de verilen (4.1) dönme matrisidir.
              Sonuç 9.2 E˘ger, q =  1 +  2 i +  3 j +  4 k ∈ H 1 bir birim kuaterniyon ise,
                                       ⎡                                   ⎤
                                           2
                                         2 − 1 −2 1  2  −2 1  3  −2 1  4
                                           1
                                       ⎢  2 1  2  1 − 2 2  −2 2  3  −2 2  4  ⎥
                                 Y q =  ⎢               2        2         ⎥
                                       ⎣  2 1  3  −2 2  3  1 − 2 3  −2 3  4  ⎦
                                          2 1  4  −2 2  4  −2 3  4  1 − 2 2 4
              olacaktır. Özel olarak, q = n =(  ) alınırsa,
                                         ⎡                               ⎤
                                           −1      0        0       0
                                         ⎢  0   1 − 2 2  −2    −2   ⎥
                                   Y q =  ⎢                    2         ⎥
                                         ⎣  0    −2    1 − 2    −2  ⎦
                                            0    −2     −2    1 − 2 2
              elde edilir. E˘ger, Y n (p)= npn dönü¸sümünde p = v has kuaterniyon ise, Y q yine bir has
              kuaterniyon olacaktır. Bu durumda,
                                             3
                                         : R → R   3      n (v)= nvn
              dönü¸sümünün matrisi
                                           ⎡       2                   ⎤
                                             1 − 2    −2     −2
                                       n =  ⎣  −2  1 − 2 2  −2   ⎦
                                               −2    −2    1 − 2 2
              olacaktır. Bu matris, normali n =(  ) olan düzleme göre simetriyi veren dönü¸sümün
                                                
                         2
              matrisidir.  =  det  n = −1 ve   =  oldu˘gu görülebilir.
                         n
   135   136   137   138   139   140   141   142   143   144   145