Page 140 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ

Kuaterniyonlar ve Dört Boyutlu Uzayda Dönme 139

¨ ¥
F Kanıt F
§ ¦
Matris çarpımlarından do˘ grudan hesaplanabilir.

9.9 Alıştırma Y q : H → H, Y q (p)= qpq ve D q : H → H, D q (p)= qpq dönü¸süm­
lerinin lineer oldu˘ gunu kanıtlayınız.
Yanıt : Y q (p + r)= q (p + r)q =qpq + qrq =Y q (p)+ Y q (r).Di˘ gerini de gösteriniz.

Sonuç 9.1 E˘ger, q =  1 +  2 i +  3 j +  4 k ∈ H 1 bir birim kuaterniyon ise,
⎡ ⎤
1 0 0 0
2
2
2
⎢ 0  +  −  −  2 −2 1  4 +2 2  3 2 1  3 +2 2  4 ⎥
D q = ⎢ 1 2 3 4 2 2 2 2 ⎥
⎣ 0 2 1  4 +2 2  3  −  +  −  4 −2 1  2 +2 3  4 ⎦
3
2
1
2
2
2
0 −2 1  3 +2 2  4 2 1  2 +2 3  4  −  −  +  4 2
1
3
2
olacaktır. Görüldü˘gü gibi, D q dönü¸sümü, bir kuaterniyonun skaler kısmını de˘gi¸stirmez.
O halde, has kuaterniyon, yani bir vektör için, R q : R → R ¸seklinde tanımlanan dönü¸süm,
3
3
⎡ 2 2 2 2 ⎤
 +  −  −  4 −2 1  4 +2 2  3 2 1  3 +2 2  4
2
3
1
2
2
2
R q = ⎣ 2 1  4 +2 2  3  −  +  −  4 2 −2 1  2 +2 3  4 ⎦
3
2
1
2
2
2
−2 1  3 +2 2  4 2 1  2 +2 3  4  −  −  +  4 2
3
1
2
bulunur. Bu ise, Teorem 4.12’de verilen (4.1) dönme matrisidir.
Sonuç 9.2 E˘ger, q =  1 +  2 i +  3 j +  4 k ∈ H 1 bir birim kuaterniyon ise,
⎡ ⎤
2
2 − 1 −2 1  2 −2 1  3 −2 1  4
1
⎢ 2 1  2 1 − 2 2 −2 2  3 −2 2  4 ⎥
Y q = ⎢ 2 2 ⎥
⎣ 2 1  3 −2 2  3 1 − 2 3 −2 3  4 ⎦
2 1  4 −2 2  4 −2 3  4 1 − 2 2 4
olacaktır. Özel olarak, q = n =(  ) alınırsa,
⎡ ⎤
−1 0 0 0
⎢ 0 1 − 2 2 −2 −2 ⎥
Y q = ⎢ 2 ⎥
⎣ 0 −2 1 − 2 −2 ⎦
0 −2 −2 1 − 2 2
elde edilir. E˘ger, Y n (p)= npn dönü¸sümünde p = v has kuaterniyon ise, Y q yine bir has
kuaterniyon olacaktır. Bu durumda,
3
 : R → R  3  n (v)= nvn
dönü¸sümünün matrisi
⎡ 2 ⎤
1 − 2 −2 −2
 n = ⎣ −2 1 − 2 2 −2 ⎦
−2 −2 1 − 2 2
olacaktır. Bu matris, normali n =(  ) olan düzleme göre simetriyi veren dönü¸sümün

2
matrisidir.  =  det  n = −1 ve   =  oldu˘gu görülebilir.
n