Page 141 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ

Kuaterniyon Matrisleri

Bile¸senleri kuaterniyon olan matrislere kuaterniyon matrisleri denir. Kuaterniyon matris­
leri, Fuzhen Zhang’ın bu konudaki 1997 yılındaki yaptı˘ gı harika çalı¸smasında detaylı olarak
ele alınmı¸stır. Bu kitapta, detaya girmeden, kuaterniyonlar matrislerinden kısaca bahsedile­
cektir. Kuaterniyon matrislerini önemli yapan nokta, kuaterniyonların de˘ gi¸smeli olmayı¸sıdır.
Kuaterniyonlar de˘ gi¸smeli olmadı˘ gından, kuaterniyon matrislerinin tersini bulmada, özde˘ ger ve
özvektörlerini belirlemede ve determinant hesabında bir çok problemle kar¸sıla¸sırız. Örne˘ gin,
a b c d kuaterniyonlar olmak üzere,
∙ ¸
ab
A =
cd
matrisinin determinantını ad − cb biçiminde tanımlamak do˘ gru de˘ gildir. Burada, ad ile da
ve bc ile de cb e¸sit olmayabilir. E˘ ger, çarpımların ad − cb sırasında oldu˘ gunu kabul edersek,
∙ ¸
aa
bb
˙
matrisinin determinantı ab − ba sıfırdan farklı olabilir. Iki sütun aynı olmasına ra˘ gmen deter­
1
minantın sıfırdan farklı olması, determinant tanımına uygun bir durum de˘ gildir.
Kuaterniyon çarpımının de˘ gi¸smeli olmamasının getirdi˘ gi problemlerden kurtulmak için,
bir kuaterniyonla, 2 × 2 türünden bir kompleks sayılar arasındaki izomorfizm kullanılır. Bu
izomorfizmi a¸sa˘ gıda görece˘ giz. Öncelikle, herhangi bir q =  1 +  2 i +  3 j +  4 k kuaterni­
yonunu kompleks bile¸senli bir kompleks sayı gibi yazmaya çalı¸salım. Bunun için, kuaterniyon
çarpımının özelliklerini kullanaca˘ gız. k = ij oldu˘ gu kullanılarak,

q =  1 +  2 i +  3 j +  4 k =( 1 +  2 i)+( 3 +  4 i) j
yazılabilir. Bu e¸sitlikte,
a 1 =  1 +  2 i ve a 2 =  3 +  4 i
denilirse,

q = a 1 + a 2 j
olur. Benzer ¸sekilde, k = −ji e¸sitli˘ gine göre de,
q =( 1 +  2 i)+ j ( 2 −  3 i)
biçiminde de yazabiliriz. O halde, her kuaterniyon, a 1  a 2 ∈ C için,

q = a 1 + a 2 j = a 1 + ja 2
formunda yazılabilir. Burada, a 2 j = ja 2 oldu˘ guna dikkat ediniz. Sonuç olarak, H kuaterni­
yonlar kümesi, C kompleks sayılar kümesi üzerinde 2 boyutlu bir cebirdir. Yani, H kümesinin
tabanı {1 j} olur.

1 Determinant Fonksiyonu : Literatürde bir fonksiyona, K halkası üzerinde bir determinant fonksiyonu
denilebilmesi için,
det : M × (K) → K
fonksiyonunun, her   ∈ M × (K) için a¸sa˘ gıdaki üç ko¸sulu sa˘ glayıp sa˘ glamadı˘ gı aranır.
i. det  =0 ⇔  matrisinin tersi yoktur.
ii. det ()= det  · det 
iii.  matrisinin herhangi bir satırının sol taraftan katı, ba¸ska bir satıra eklendi˘ ginde elde edilen matris  ise,
0
det  =det  olur.
0