Page 137 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ

136 Kuaterniyonlar ve Geometri ­ Mustafa Özdemir

9.8 Alıştırma n = i + j + k birim has kuaterniyon olmak üzere,
⎡ ⎤
0 − − −
⎢  0 −   ⎥
 n = ⎢ ⎥
⎣   0 − ⎦
 −   0
matrisi ve p =cos  + n sin  birim kuaterniyonu için,

  n =  p
oldu˘ gunu kanıtlayınız.

Yanıt :  ters simetrik matrisi için,  = − oldu˘ gundan yararlanarak ifade edilen ve Rodrigues formülü olarak
2
bilinen   =  cos  +  sin  e¸sitli˘ ginden kolayca elde edilir.

˙
Kuaterniyonlar ve Dört Boyutlu Izoklinik Dönmeler

9.6 Teorem Dört boyutlu Öklid uzayında  p sol izoklinik matrisi verilsin.
4
Her x ∈ R için,
hx p (x)i
cos  =
kxkk p (x)k
e¸sitli˘ gi sa˘ glanır. Bu e¸sitli˘ gi kuaterniyon çarpımıyla, (2.3) göz önüne alınırsa
 p (x) x  p (x) x
cos  = =
kxkk p (x)k kxk 2
biçiminde de ifade edebiliriz.

¨ ¥
F Kanıt 2 F
§ ¦
p =  1 +  2 i +  3 j +  4 k birim kuaterniyonu ve x =(   ) ∈ R vektörü için,
4
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
 1 − 2 − 3 − 4   1 −  2 −  3 −  4

⎢  2  1 − 4  3 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢  2 +  1 −  4 +  3 ⎥
 p (x)= ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥

⎣  3  4  1 − 2 ⎦ ⎣ ⎦ ⎣  3 +  1 +  4 −  2 ⎦
 4 − 3  2  1   4 −  3 +  2 +  1
oldu˘ gundan,
¡ ¢
2
2
2
hx p (x)i =  1  +  +  +  2
ve
2
2
2
kxk = k p (x)k =  +  +  +  2
e¸sitlikleri de göz önüne alınırsa,
¡ 2 2 2 2 ¢
hx p (x)i  1  +  +  + 
cos  = = =  1
2
2
2
kxkk p (x)k  +  +  +  2
bulunur.