Page 142 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ

Kuaterniyon Matrisleri 141

Bu tabana göre, bir kuaterniyonun kompleks matris gösterimini bulalım.

 q : H → H
p →  q (p)= pq
lineer dönü¸sümünü tanımlayalım. a 1  a 2 ∈ C olmak üzere, q = a 1 + a 2 j ∈ H kuaterniyonu
için,

 q (1) = 1q =1 (a 1 + a 2 j)= a 1 + a 2 j
olacaktır. Di˘ ger yandan, ja = a 1 j oldu˘ gu kullanılarak,
1
 q (j)= jq = j (a 1 + a 2 j)= ja + ja j = a 1 j + a 2 jj = − a 2 + a 1 j
2
1
elde edilir. Buna göre,  q lineer dönü¸sümünün {1 j} tabanına göre matrisi :
∙ ¸
a 1 a 2
∈ M 2×2 (C)
−a 2 a 1
bulunur.

¨ ¥
10.1 F Kuaterniyona Kar¸sılık Gelen Matris F
§ ¦
Herhangi bir q =  1 +  2 i +  3 j +  4 k kuaterniyonunu, a 1 =  1 +  2 i ve a 2 =  3 +  4 i
kompleks sayıları yardımıyla
q = a 1 + a 2 j
biçiminde yazabiliriz. Bu bile¸senler yardımıyla yazılan 2 × 2 türünden
∙ ¸
a 1 a 2
∈ M 2×2 (C)
−a 2 a 1
kompleks matrisine q kuaterniyonuna kar¸sılık gelen kompleks matris denir.

Örnek 10.1
q =1 + 2i +3j +4k kuaterniyonuna kar¸sılık gelen kompleks matrisi bulunuz.
Çözüm : q =1 + 2i +3j +4k =(1 + 2i)+ (3 + 4i) j yazılırsa,
a 1 =(1 + 2i) ve a 2 =(3 + 4i)
bulunur. O halde, q kuaterniyonuna kar¸sılık gelen kompleks matris
∙ ¸
1+2i 3+4i
∈ M 2×2 (C)
−3+4i 1 − 2i
elde edilir.
½∙ ¸ ¾
a 1 a 2
10.1 Alıştırma M = : a 1  a 2 ∈ C kümesi M 2×2 (C) halkasının bir althalkasıdır. Gös­
−a 2 a 1
teriniz.

10.2 Alıştırma q =1 + 2i − j + k kuaterniyonuna kar¸sılık gelen kompleks matrisi bulunuz.
 
1+ 2i −1+ i
Yanıt : 
1+ i 1 − 2i