Page 143 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ

142 Kuaterniyonlar ve Geometri ­ Mustafa Özdemir

˙
Kuaterniyonlar Halkası ile Kompleks Matrisler Kümesi Arasında Izomorfizm

10.1 Teorem Alı¸stırma 10.1 verilen M halkası ile kuaterniyonlar halkası izomorftur.

¨ ¥
F Kanıt F
§ ¦
 : H → M ⊂ M 2×2 (C)
∙ ¸
a 1 a 2
q →  (q)=  (a 1 + a 2 j)=
−a 2 a 1
dönü¸sümünün bir halka izomorfizmi oldu˘ gunu kolayca görebiliriz.
Birebirlik : q =  1 +  2 i +  3 j +  4 k ve p =  1 +  2 i +  3 j +  4 k kuaterniyonları için,
 (q)=  (p) ise,
∙ ¸ ∙ ¸
 1 +  2 i  3 +  4 i  1 +  2 i  3 +  4 i
=
− 3 +  4 i  1 −  2 i − 3 +  4 i  1 −  2 i
e¸sitli˘ ginden, p = q bulunur.
∙ ¸
 1 +  2 i  3 +  4 i
Örtenlik : Her  (q)= için, bir q =  1 + 2 i+ 3 j+ 4 k kuaterniyonu
− 3 +  4 i  1 −  2 i
vardır.
˙
Toplama I¸sleminin Korunması :
∙ ¸
 1 +  1 +( 2 +  2 ) i ( 3 +  3 )+( 4 +  4 ) i
 (p + q)=
− ( 3 +  3 )+( 4 +  4 ) i  1 +  1 − ( 2 +  2 ) i
∙ ¸ ∙ ¸
 1 +  2 i  3 +  4 i  1 +  2 i  3 +  4 i
= +
− 3 +  4 i  1 −  2 i − 3 +  4 i  1 −  2 i
=  (p)+  (q) 
˙
Çarpma I¸sleminin Korunması :
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
 1  1 −  2  2 −  3  3 −  4  4  1
⎢  1  2 +  2  1 +  3  4 −  4  3 ⎥ ⎢  2 ⎥
pq = ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥
⎣  1  3 +  3  1 −  2  4 +  4  2 ⎦ ⎣  3 ⎦
 1  4 +  2  3 −  3  2 +  1  4  4
oldu˘ gu göz önüne alınırsa,
∙ ¸
 1 +  2 i  3 +  4 i
 (pq)=
− 3 +  4 i  1 −  2 i
olur. Di˘ ger yandan,
∙ ¸ ∙ ¸ ∙ ¸
 1 +  2 i  3 +  4 i  1 +  2 i  3 +  4 i  11  12
 (p)  (q)= =
− 3 +  4 i  1 −  2 i − 3 +  4 i  1 −  2 i  21  22
e¸sitli˘ gi hesaplanırsa,
 11 =( 1  1 −  2  2 −  3  3 −  4  4 )+( 1  2 +  2  1 +  3  4 −  4  3 ) i =  1 +  2 i
ve benzer ¸sekilde,  12 =  3 +  4 i 21 = − 3 +  4 i   22 =  1 −  2 i oldu˘ gu görülebilir.