Page 148 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ

Kuaterniyon Matrisleri 147

˙
Kuaterniyon Matrisinin Determinantı Için Farklı Tanımlar
Kuaterniyon matrislerinin determinantını bulmak için matematikçiler farklı yöntemler kullan­
mı¸slardır. Yukarıda verilen tanımdan ba¸ska Cayley ve Diodenne tarafından kullanılan deter­
minant tanımları a¸sa˘ gıdaki gibidir.
i. Cayley Determinantı : Arthur Cayley tarafından kullanılan determinant tanımı :
∙ ¸
ab
det A =det = ad − cb
  cd
Bu tanım, yukarıda dipnot olarak determinant tanımındaki üç ko¸sulu da sa˘ glamaz. Bu durum,
bir çok problem ortaya çıkarır. Bu nedenle, bu tanım çok kullanı¸slı de˘ gildir.
ii. Dieudonné Determinantı
1943 yılında Diodenne tarafından tanımlanmı¸s, bölme halkalarında kullanılan cebirsel bir de­
terminant tanımıdır. Burada sadece 2 × 2 türünden kuaterniyonik matrisler için kullanılan
determinant tanımını verece˘ giz.
∙ ¸ ½
ab −cb a =0
det =
 cd ad − aca −1 ba 6=0
biçiminde tanımlanır. Yukarıda dipnotta verilen tüm determinant fonksiyonu ko¸sullarını sa˘ glayan
bir determinantır. Bu kitapda, bu tanımı kullanmayaca˘ gız.

Not 10.5 Cayley ve Diodenne determinantları
det : M × (H) → H
biçiminde tanımlıdır. Yani, sonuç yine bir kuaterniyondur. Fakat, Study determinantı veya
q­determinantı

det : M × (H) → R
biçiminde tanımlıdır ve sonuç daima bir pozitif reel sayıdır. Çünkü, herhangi iki × türünden
kompleks matris için,
∙ ¸
 
det ≥ 0
− 
e¸sitsizli˘gi vardır (Zhang, 1997).

10.4 Alıştırma det (AB)= det A det B e¸sitli˘ ginin sa˘ glamadı˘ gını gösteriniz.
  
   
1 i k j
Yanıt : A = ve B = için, det (AB)= 2 − 2k det A det B =0
j k i 1   

Örnek 10.2 ∙ ¸
1+ i + j 1+ 3i + 2k
A = matrisinin q­determinantını bulunuz.
2+ 3j + k i + 2j + k
Çözüm : A =  1 +  2  formunda yazalım.
∙ ¸ ∙ ¸ ∙ ¸
1+ i + j 1+ 3i + 2k 1+ i 1+ 3i 1 2i
= + j
2+ 3j + k i + 2j + k 2 i 3 + ii + 2