Page 151 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ

Dual Sayılar Halkası ve Geometrik Yorumları

Dual sayılar, reel sayıların, kompleks sayılardakine benzer ¸sekilde, ε =0 ve ε 6=0 ola­
2
cak ¸sekildeki bir elemanla geni¸sletilmesiyle olu¸san bir sayı kümesidir. Dual sayılar cebiri
ilk olarak W.K. Clifford (1873) tarafından tanımlanmı¸stır. E. Study ise ilk kez geometrik
olarak yorumlayarak, mekani˘ ge uygulamalarını vermi¸stir. Dual sayılar ayrıca, Galile düzlem
geometrisine kar¸sılık gelir. Bu bölümde, dual sayıların cebirsel ve geometrik özelliklerini
verece˘ giz.

¨ ¥
11.1 F Dual Sayı (Dual Number) F
§ ¦
Dual sayılar kümesi,
© 2 ª
D =  + ε :   ∈ R ε =0
biçiminde tanımlanır. Herhangi z =  + ε dualsayısıiçin,  de˘ gerine reel kısım ve 
de˘ gerine de dual kısım denir ve sırasıyla
Re  =    Du ()= 
¸ seklinde ifade edilir. D dual sayılar kümesi,

( + ε)+( + ε)=( + )+ ε ( + )
toplama i¸slemine ve

( + ε) · ( + ε)=()+( + ) ε
çarpma i¸slemlerine göre, birimli ve de˘ gi¸smeli bir halkadır. (D,+ ·) üçlüsü bir cisim
de˘ gildir. Çünkü her elemanın tersi yoktur. Örne˘ gin, 0+3 elemanının tersi yoktur.
Dual sayılar kümesinde, toplamaya göre birim eleman 0= 0 + 0ε Ayrıca, her z =  + ε
için,

( + ε)(1 + ε0) =  + ε
oldu˘ gundan,
1= 1 + 0ε
dual sayısı çarpma i¸slemine göre birim elemandır. Bu birim elemana reel birim denir.

ε =0 + 1ε
dual sayısına da dual birim denir.

11.1 Alıştırma (D,+ ·) dual sayı sisteminin birimli ve de˘ gi¸smeli bir halka oldu˘ gunu görünüz.

Örnek 11.1
z =3 + 2ε ve w =5 − 3ε ise zw =?

Çözüm : zw =(3 + 2ε)(5 − 3ε) = 15+ olur.

2
11.2 Alıştırma z =5 + 3ε ve w =1+ ise z w =?
Yanıt : 25 + 55