Page 154 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ

Dual Sayılar Halkası ve Geometrik Yorumları 153

¨ ¥
11.2 F Dual SayınınE¸sleni˘gi ve Modülü F
§ ¦
Herhangi bir z =  + ε dual sayısı için,
z =  − ε
dual sayısına z dual sayısının e¸sleni˘ gi denir.

¨ ¥
11.3 F Dual SayınınNormu F
§ ¦
Buna göre, bir z =  + ε dual sayısının normu,
√ √
p
2
|z| = hz zi = zz =  = ||
√ √
2
¸ seklinde tanımlanır. O halde, zz = || yazılabilir. zz = zz = || reel sayı de˘ gerine, z
dual sayısının modülü veya normu denir ve |z| ile gösterilir.
¨ ¥
11.4 F Dual Sayılar Kümesinde Skaler Çarpım F
§ ¦
Dual sayılar halkası, reel sayılar cismi üzerinde bir modüldür. Bu modülde, skaler çarpım,
z w ∈ D için,
h  i : D × D → R
zw + wz
(z w) → hz wi = =Re (zw)=Re (zw)
2
¸ seklinde tanımlanır. Buna göre, z =  1 + ε 2 ve w =  1 + ε 2 için,
( 1 + ε 2 )( 1 − ε 2 )+( 1 + ε 2 )( 1 − ε 2 )
hz wi = =  1  1 (11.1)
2
ile belirlidir. Bu skaler çarpım, Galile düzlem geometrisinin skaler çarpımıdır.

Not 11.5 Burada tanımlanan (11.1) skaler çarpımı, bir iç çarpım fonksiyonu de˘gildir. Çünkü,
hz zi =0 ⇔ z =0
ko¸sulu sa˘glanmaz. Örne˘gin, z =0+2ε için, hz zi =0 iken z 6=0 dır. Fakat bu çarpım, pozitif
tanımlı, nondegenere bir çarpımdır. Yani, tüm vektörlere dik olan tek vektör 0 vektörüdür.
Gerçekten de, her x ∈ D için, hx yi =0 ise y =0’dır. x =(0 1) ise, y =  + ε için,

hx yi =0 ⇒  =0
olmalıdır. Di˘ger yandan, x =(1 0) ise y =  + ε için,
hx yi =0 ⇒  =0
olmalıdır.

Örnek 11.5
D dual sayılar kümesinde z =  1 + ε 2 ve w =  1 + ε 2 için, hz wi =  1  1 ¸seklinde tanımlanan
skaler çarpımın, Cauch­Schwarz e¸sitsizli˘ gini sa˘ glayıp sa˘ glamadı˘ gını görünüz.

Çözüm : |z| = | 1 | ve |w| = | 1 | oldu˘ gundan, | 1  1 | = | 1 || 1 | e¸sitli˘ gi de göz önüne alınırsa,
|hz wi| = |z||w|
elde edilir. Yani, Cauch­Schwarz e¸sitsizli˘ gi e¸sitli˘ ge dönü¸sür.