Page 154 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ
P. 154

Dual Sayılar Halkası ve Geometrik Yorumları                                   153

                     ¨                                    ¥
               11.2   F Dual SayınınE¸sleni˘gi ve Modülü F
                     §                                    ¦
               Herhangi bir z =  + ε dual sayısı için,
                                                  z =  − ε
               dual sayısına z dual sayısının e¸sleni˘ gi denir.

                     ¨                         ¥
               11.3   F Dual SayınınNormu F
                     §                         ¦
               Buna göre, bir z =  + ε dual sayısının normu,
                                                       √      √
                                             p
                                                                 2
                                       |z| =   hz zi =  zz =   = ||
                                                            √       √
                                                 2
               ¸ seklinde tanımlanır. O halde, zz = || yazılabilir.  zz =  zz = || reel sayı de˘ gerine, z
               dual sayısının modülü veya normu denir ve |z| ile gösterilir.
                     ¨                                          ¥
               11.4   F Dual Sayılar Kümesinde Skaler Çarpım F
                     §                                          ¦
               Dual sayılar halkası, reel sayılar cismi üzerinde bir modüldür. Bu modülde, skaler çarpım,
               z w ∈ D için,
                           h  i : D × D → R
                                                     zw + wz
                                 (z w) → hz wi =             =Re (zw)=Re (zw)
                                                         2
               ¸ seklinde tanımlanır. Buna göre, z =  1 + ε 2 ve w =  1 + ε 2 için,
                               ( 1 + ε 2 )( 1 − ε 2 )+( 1 + ε 2 )( 1 − ε 2 )
                       hz wi =                                             =  1  1     (11.1)
                                                    2
               ile belirlidir. Bu skaler çarpım, Galile düzlem geometrisinin skaler çarpımıdır.



              Not 11.5 Burada tanımlanan (11.1) skaler çarpımı, bir iç çarpım fonksiyonu de˘gildir. Çünkü,
                                              hz zi =0 ⇔ z =0
              ko¸sulu sa˘glanmaz. Örne˘gin, z =0+2ε için, hz zi =0 iken z 6=0 dır. Fakat bu çarpım, pozitif
              tanımlı, nondegenere bir çarpımdır. Yani, tüm vektörlere dik olan tek vektör 0 vektörüdür.
              Gerçekten de, her x ∈ D için, hx yi =0 ise y =0’dır. x =(0 1) ise, y =  + ε için,

                                              hx yi =0 ⇒  =0
              olmalıdır. Di˘ger yandan, x =(1 0) ise y =  + ε için,
                                              hx yi =0 ⇒  =0
              olmalıdır.


              Örnek 11.5
              D dual sayılar kümesinde z =  1 + ε 2 ve w =  1 + ε 2 için, hz wi =  1  1 ¸seklinde tanımlanan
              skaler çarpımın, Cauch­Schwarz e¸sitsizli˘ gini sa˘ glayıp sa˘ glamadı˘ gını görünüz.

              Çözüm : |z| = | 1 | ve |w| = | 1 | oldu˘ gundan, | 1  1 | = | 1 || 1 | e¸sitli˘ gi de göz önüne alınırsa,
                                                |hz wi| = |z||w|
              elde edilir. Yani, Cauch­Schwarz e¸sitsizli˘ gi e¸sitli˘ ge dönü¸sür.
   149   150   151   152   153   154   155   156   157   158   159