Page 156 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ

Dual Sayılar Halkası ve Geometrik Yorumları 155

Örne˘ gin, uzunlu˘ gu 2 olan dual sayıların geometrik yeri, || =2 Galile çemberiyle ifade edilir.
Grafi˘ gi a¸sa˘ gıdaki gibidir.

y 4
2

­4 ­2 2 4
­2 x
­4

Galile metri˘ gine göre, orjinden burada paralel do˘ grulara çizilen tüm do˘ gru parçaları aynı uzun­
luktadır ve bu uzunluk Galile çemberinin yarıçapıdır.
Düzlemde Galile skaler çarpımı u =( 1  2 ) ve v =( 1  2 ) olmak üzere,

hu vi =  1  1
G
biçiminde tanımlanır ki, pozitif tanımlılık ko¸sulu tam olarak sa˘ glanmadı˘ gı için bu bir iç çarpım
de˘ gildir. Yani,

hu ui =0 ⇔ u =0
G
ko¸sulu sa˘ glanmaz. Galile düzleminin metri˘ gi de :  =( 1  2 ) ve  =( 1  2 ) olmak üzere,

 ( )= | 1 −  1 |
biçiminde tanımlanır.

Bir Dual Sayının Tersi

11.2 Teorem z =  + ε dual sayısının tersinin olması için gerek ve yeter ko¸sul
 6=0 olmasıdır.  6=0 ise, z =  + ε elemanının tersi
z 1 
z −1 = = − ε
2 2
|z|  
biçimindedir.

¨ ¥
F Kanıt F
§ ¦
z =  + ε dual sayısının tersine z −1 =  + ε diyelim. Bu durumda, zz −1 =1 e¸sitli˘ ginden,
 + ε ( + )=1
olmalıdır. Bu e¸sitlik ise,  +  =0 ve  =1 iken sa˘ glanır.  =1 e¸sitli˘ ginin bir 
çözümünün olması için gerek ve yeter ko¸sul  6=0 olmasıdır.  6=0 olması durumunda,
1 −
 = ve  =
  2
elde edilir. Buna göre,

1   − ε z
z −1 = − ε = =
  2  2 |z| 2
bulunur.