Page 153 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ
P. 153

152                                      Kuaterniyonlar ve Geometri ­ Mustafa Özdemir


              Örnek 11.3
              z =3 + 2ε ifadesinin 10’uncu kuvvetini binom formülü yardımıyla hesaplayınız.

              Çözüm : ε =0 olaca˘ gından,
                       2
                          10  ¡ ¢  10  ¡ ¢  9   1  ¡ ¢  8   2       ¡ ¢     10   10       9
                               10
                                                                     10
                                       10
                                                    10
                   (3 + 2ε)  =   3  +     3 (2ε) +    3 (2ε) + ··· +    (2ε)  =3   +20 · 3 ε
                               0        1           2                10
              bulunur.
                Bir Dual Sayının n­inci Kuvveti
                 11.1   Teorem z =  + ε dual sayısının bir pozitif  tamsayı kuvveti

                                                  
                                                        
                                           ( + ε) =  + ε  −1 
                ile belirlidir.

              ¨           ¥
               F Kanıt F
              §           ¦
              Binom açılımından kolayca görülür.



              E˘ ger bir matrisi,  =  + ε, ε =0 olacak ¸sekilde bir dual sayı olarak yazabilirsek, bu
                                            2
              matrisin herhangi bir kuvvetini yukarıdaki yöntemle kolayca bulabiliriz.



              Örnek 11.4      ⎡   8    5    5  ⎤
                           =  ⎣  5    8    5 ⎦  matrisinin ­inci kuvvetini bulunuz.
                                −10 −10 −7
              (Not :  matrisi kö¸segenle¸stirilemez bir matristir.)
                         ⎡              ⎤
                            1    1    1
              Çözüm : ε =  ⎣ 1   1    1 ⎦  olmak üzere,
                            −2 −2 −2
                                                   =3 +5ε
                                                      −1
              biçiminde yazılabilir. O halde, ( + ε) =  +   ε e¸sitli˘ ginden,
                                     
                               =3  + 3  −1 5ε
                                      ⎡          ⎤         ⎡              ⎤
                                         100                  1    1   1
                                                          5
                                =3    ⎣  010    ⎦  + 3 −1 ⎣  1  1   1  ⎦
                                         001                 −2 −2 −2
                                    ⎡     −1            −1            −1     ⎤
                                      5 · 3   +3      5 · 3        5 · 3  
                                =   ⎣   5 · 3 −1   5 · 3 −1  +3   5 · 3 −1   ⎦
                                                                    
                                       −10 · 3 −1   −10 · 3 −1   3 − 10 · 3 −1 
              elde edilir.

                                 ∙       ¸
                                   5 −2
               11.7 Alıştırma   =         matrisinin ­inci kuvvetini bulunuz.
                                   2   1
                        −1            −1   
                      2 · 3   +3   −2 · 3  
              Yanıt :      −1           −1   .
                        2 · 3     3 − 2 · 3  
   148   149   150   151   152   153   154   155   156   157   158