Page 158 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ
P. 158
Dual Sayılar Halkası ve Geometrik Yorumları 157
¨ ¥
F Kanıt F
§ ¦
∙ ¸
: D → M ( + ε)=
0
fonksiyonunun bir izomorfizm oldu˘ gunu görelim.
i. Birebirlik : ( + ε)= ( + ε) ise,
∙ ¸ ∙ ¸
0 = 0
e¸sitli˘ ginden, = ve = elde edilir. O halde, + ε = + ε olur. Yani, birebirdir.
ii. Örtenlik : Her
∙ ¸
0 ∈ M
matrisi için, bir = + ε ∈ D dualsayısıvardırve örtendir.
iii. ¸Simdi i¸slemlerin korundu˘ gunu görelim.
(z + w)= (z)+ (w)
oldu˘ gunu görelim. z = 1 + ε 1 ve w = 2 + ε 2 olsun. Bu durumda,
∙ ¸
1 + 2 1 + 2
(z + w)= ( 1 + 2 + ε ( 1 + 2 )) =
0 1 + 2
∙ ¸ ∙ ¸
1 1 2 2
= + = (z)+ (w)
0 1 0 2
olur. Çarpma i¸sleminin, korundu˘ gunu da görelim.
(zw)= (z) (w)
oldu˘ gunu göstermeliyiz. zw = 1 2 +( 1 2 + 2 1 ) ε oldu˘ gundan,
∙ ¸ ∙ ¸ ∙ ¸
1 2 ( 1 2 + 2 1 ) 1 1 2 2
(zw)= = = (z) (w)
0 1 2 0 1 0 2
e¸sitli˘ gi sa˘ glanır. O halde, bir halka izomorfizmidir.
Bu teorem göz önüne alınırsa, her dual sayıyı bir 2×2 matris olarak dü¸sünebiliriz. Buna göre,
matrisleri kullanarak dual sayıları ele alabiliriz.
∙ ¸ ∙ ¸
01 10
0+ ε = 1+0ε =
00 01
ve
∙ ¸
+ ε =
0
yazılabilir. Buna göre,
∙ ¸ ∙ −1 ¸
( + ε) = =
0 0
olacaktır.
