Page 162 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ
P. 162

Dual Sayılar Halkası ve Geometrik Yorumları                                   161

                     ¨                                   ¥
               11.7   F Dual Sayı De˘gi¸skenli Fonksiyon F
                     §                                   ¦
               x =  + ε bir dual de˘ gi¸skeni göstermek üzere, bu de˘ gi¸skene ba˘ glı olarak yazılan fonksi­
                          ∗
               yona dual sayı de˘ gi¸skenli fonksiyon denir. Buna göre,
                                                               ∗
                                               (x)=  ( + ε )
               ¸ seklinde yazılır. Bu fonksiyonu, iki de˘ gi¸skenli  ve  reel de˘ gerli, reel sayı fonksiyonlarıyla
                                          (x)=  (  )+ ε (  )
                                                                   ∗
                                                       ∗
               ¸ seklinde ifade edilebilir.
              x =  + ε olmak üzere,
                                                           2
                                      (x)=  0 +  1 x +  2 x + ·· · +   x 
              reel katsayılı polinomu göz önüne alalım. Bu durumda,
                                                                  2                  
                (x)=  ( + ε)=  0 +  1 ( + ε)+  2 ( + ε) + ··· +   ( + ε)
                                                          ¡  2      ¢           ¡      −1   ¢
                                   =  0 +  1 ( + ε)+  2  +2ε + ··· +    +     ε
                                      ¡              2             ¢  ¡                −1 ¢
                                   =    0 +  1  +  2  + ··· +     + 1+2 + ··· +   ε
                                                0
                                   =  ()+  () ε
              elde edilir. Bu özelli˘ gi polinomlar dı¸sındaki fonksiyonlara da geni¸sletebiliriz.


                                     ¡  10   7     3        ¢ 10
               11.17 Alıştırma   (x)= x  − 9x +8x − 2x +1     polinomu için  (1 + 3ε)=?
                                                            9
              Yanıt :  (1 + 3)=  (1) + 3 (1)  =(−1) 10  +30 (−1) (10 − 63 + 24 − 2)  =1 + 930
                                       0
                Dual De˘ gi¸skenli Fonksiyon


                 11.9   Teorem  (x)=  ( + ε) bir dual sayı de˘ gi¸skenli fonksiyonu için,
                                                                    0
                                       (x)=  ( + ε)=  ()+ ε ()
                e¸sitli˘ gi sa˘ glanır.



              ¨           ¥
               F Kanıt F
              §           ¦
              Diferansiyellenebilir  (x) fonksiyonunun x =  noktasındaki Taylor açılımına göre,
                                  ( 0 )         ()        2         ()  ()     
                                                   00
                                  0
                   (x)=  ()+         (x − )+       (x − ) + ·· · +        (x − ) + ·· ·
                                   1!              2!                     1!
              oldu˘ gu göz önüne alınırsa, x =  + ε için, x −  = ε oldu˘ gundan,
                      (x)=  ( + ε)
                                        ()         ()    2          ()  ()  
                                                     00
                                        0
                            =  ()+         (ε)+        (ε) + ·· · +       (ε) + ···
                                         1!          2!                  1!
                                        ()
                                        0
                            =  ()+         (ε)+ 0
                                         1!
                            =  ()+  () ε
                                        0
              elde edilir.
   157   158   159   160   161   162   163   164   165   166   167