Page 162 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ
P. 162
Dual Sayılar Halkası ve Geometrik Yorumları 161
¨ ¥
11.7 F Dual Sayı De˘gi¸skenli Fonksiyon F
§ ¦
x = + ε bir dual de˘ gi¸skeni göstermek üzere, bu de˘ gi¸skene ba˘ glı olarak yazılan fonksi
∗
yona dual sayı de˘ gi¸skenli fonksiyon denir. Buna göre,
∗
(x)= ( + ε )
¸ seklinde yazılır. Bu fonksiyonu, iki de˘ gi¸skenli ve reel de˘ gerli, reel sayı fonksiyonlarıyla
(x)= ( )+ ε ( )
∗
∗
¸ seklinde ifade edilebilir.
x = + ε olmak üzere,
2
(x)= 0 + 1 x + 2 x + ·· · + x
reel katsayılı polinomu göz önüne alalım. Bu durumda,
2
(x)= ( + ε)= 0 + 1 ( + ε)+ 2 ( + ε) + ··· + ( + ε)
¡ 2 ¢ ¡ −1 ¢
= 0 + 1 ( + ε)+ 2 +2ε + ··· + + ε
¡ 2 ¢ ¡ −1 ¢
= 0 + 1 + 2 + ··· + + 1+2 + ··· + ε
0
= ()+ () ε
elde edilir. Bu özelli˘ gi polinomlar dı¸sındaki fonksiyonlara da geni¸sletebiliriz.
¡ 10 7 3 ¢ 10
11.17 Alıştırma (x)= x − 9x +8x − 2x +1 polinomu için (1 + 3ε)=?
9
Yanıt : (1 + 3)= (1) + 3 (1) =(−1) 10 +30 (−1) (10 − 63 + 24 − 2) =1 + 930
0
Dual De˘ gi¸skenli Fonksiyon
11.9 Teorem (x)= ( + ε) bir dual sayı de˘ gi¸skenli fonksiyonu için,
0
(x)= ( + ε)= ()+ ε ()
e¸sitli˘ gi sa˘ glanır.
¨ ¥
F Kanıt F
§ ¦
Diferansiyellenebilir (x) fonksiyonunun x = noktasındaki Taylor açılımına göre,
( 0 ) () 2 () ()
00
0
(x)= ()+ (x − )+ (x − ) + ·· · + (x − ) + ·· ·
1! 2! 1!
oldu˘ gu göz önüne alınırsa, x = + ε için, x − = ε oldu˘ gundan,
(x)= ( + ε)
() () 2 () ()
00
0
= ()+ (ε)+ (ε) + ·· · + (ε) + ···
1! 2! 1!
()
0
= ()+ (ε)+ 0
1!
= ()+ () ε
0
elde edilir.
