Page 165 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ

164 Kuaterniyonlar ve Geometri ­ Mustafa Özdemir

˙
Bir Dual Vektörün Kendisiyle Iç Çarpımı

11.12 Teorem Herhangi bir A = u + εu ∈ D dual vektörü için,
3
∗
∗
12 hu u i
hA Ai = kuk + ε
kuk
e¸sitli˘ giyle belirlidir.

¨ ¥
F Kanıt F
§ ¦
A = u + εu için, hu ui =  ∈ R ve hu u i =  ∈ R ile gösterelim.
∗
∗
p
12
∗
hA Ai = hu ui +2εhu u i
p
=  +2ε
√ 2ε
=  + √
2 
√ 
=  + √ ε

oldu˘ gundan,
√ p
 = hu ui = kuk
12 huu i
∗
oldu˘ gu kullanılırsa, hA Ai =k u k + ε elde edilir.
kuk
¨ ¥
11.10 F D Modülünde Bir Vektörün Dual Normu ve Birim Dual Vektör F
3
§ ¦
3
A = u + εu ∈ D dual vektörü için,
∗
µ ∗ ¶
hu u i
kAk = kuk 
k u k
biçiminde tanımlanan dual sayıya, A dual vektörünün uzunlu˘ gu veya normu diyece˘ giz.
Görüldü˘ gü gibi, burada uzunluk olarak bir dual sayıdan bahsediyoruz. Normu (1 0) olan
dual vektöre birim dual vektör denir. Buna göre,
kAk =(1 0)
3
ise, A ∈ D bir birim dual vektördür. Bu durumda, kuk =1 ve hu u i =0 olmalıdır.
∗
Örnek 11.12
A¸sa˘ gıdakilerden hangisi bir birim dual vektördür?
a) A =(1 + 2ε 3ε 2ε)  b) B =(1 3ε 2ε);
c) C =(1 1 ε) d) D =(13+2ε 23+ ε 23 − 2ε)

Çözüm : a) hu u i 6=0 oldu˘ gundan birim de˘ gildir.
∗
b) kuk =1 ve hu u i =0 oldu˘ gundan, birimdir.
∗
c) kuk 6=1 oldu˘ gundan birim de˘ gildir.
d) kuk = k(13 23 23)k =1 ve hu u i = h(13 23 23)  (2 1 −2)i =0 oldu˘ gundan, birimdir.
∗