Page 167 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ
P. 167
166 Kuaterniyonlar ve Geometri Mustafa Özdemir
EStudy Dönü¸sümü
EStudy Dönü¸sümü : Dual Kürenin Noktaları Yönlü Do˘ grulara Kar¸sılık Gelir
11.13 Teorem R uzayındaki yönlü do˘ grular ile dual kürenin noktaları arasındaki
3
birebir e¸sleme vardır. Yani, her birim dual vektör, R uzayında bir yönlü do˘ gruya kar¸sılık
3
gelir.
¨ ¥
F Kanıt F
§ ¦
Öncelikle, do˘ grultmanı ve yönü u ile belirli ve noktasından geçen ve u düzlemine dik bir
∗
düzlemde bulunan bir do˘ grusu alalım. Bu do˘ gruya kar¸sılık gelen birim dual vektörü bulalım.
u vektörünü birim almak genelli˘ gi bozmaz.
u * Y d
u * u
X .
Z . . x
z y
P
−−→
¸ Sekilden de takip ediniz. do˘ gru üzerindeki herhangi bir nokta olmak üzere, = x
diyelim
x × u = u ∗
ile gösterelim. Bu vektöre, u do˘ grultu vektörünün noktasına göre vektörel momenti denir.
u vektörü, noktasının seçili¸sinden ba˘ gımsızdır. E˘ ger, do˘ grusu üzerinde farklı bir
∗
−−→
noktası alınsaydı, = y için,
(y − x) × u = 0 ⇒ y × u = x × u = u ∗
bulunurdu. Madem do˘ gru üzerindeki alınacak her nokta için bu ba˘ gıntı do˘ grudur. Do˘ gru
−→
üzerinde, noktasına en yakın olan noktayı ile gösterip, = z denilirse,
z × u = u ∗
olacaktır. do˘ grunun O noktasına en yakın noktası ise, z vektörü do˘ gruya, dolayısıyla da u
vektörüne diktir. Buna göre,
∗ ◦
ku k = kz × uk = kzkkuk sin 90 = kzk
elde edilir. Yani, ku k de˘ geri, noktasının do˘ gruya uzaklı˘ gını ifade etmektedir. kuk =1 ve
∗
z × u = u e¸sitli˘ gine göre, hu u i =0 olacaktır. O halde,
∗
∗
A = u + εu ∗
dual vektörü bir birim dual vektördür. Böylece, yönlü do˘ grusuna kar¸sılık gelen bir tek A
birim dual vektörü bulmu¸soluruz.