Page 167 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ

166 Kuaterniyonlar ve Geometri ­ Mustafa Özdemir

E­Study Dönü¸sümü

E­Study Dönü¸sümü : Dual Kürenin Noktaları Yönlü Do˘ grulara Kar¸sılık Gelir

11.13 Teorem R uzayındaki yönlü do˘ grular ile dual kürenin noktaları arasındaki
3
birebir e¸sleme vardır. Yani, her birim dual vektör, R uzayında bir yönlü do˘ gruya kar¸sılık
3
gelir.

¨ ¥
F Kanıt F
§ ¦
Öncelikle, do˘ grultmanı ve yönü u ile belirli ve  noktasından geçen ve u düzlemine dik bir
∗
düzlemde bulunan bir  do˘ grusu alalım. Bu do˘ gruya kar¸sılık gelen birim dual vektörü bulalım.
u vektörünü birim almak genelli˘ gi bozmaz.

u * Y d
u * u
X .
Z . . x
z y

P

−−→
¸ Sekilden de takip ediniz.  do˘ gru üzerindeki herhangi bir nokta olmak üzere,  = x
diyelim
x × u = u ∗
ile gösterelim. Bu vektöre, u do˘ grultu vektörünün  noktasına göre vektörel momenti denir.
u vektörü,  noktasının seçili¸sinden ba˘ gımsızdır. E˘ ger,  do˘ grusu üzerinde farklı bir 
∗
−−→
noktası alınsaydı,  = y için,
(y − x) × u = 0 ⇒ y × u = x × u = u ∗
bulunurdu. Madem do˘ gru üzerindeki alınacak her nokta için bu ba˘ gıntı do˘ grudur. Do˘ gru
−→
üzerinde,  noktasına en yakın olan noktayı  ile gösterip,  = z denilirse,
z × u = u ∗
olacaktır.  do˘ grunun O noktasına en yakın noktası ise, z vektörü do˘ gruya, dolayısıyla da u
vektörüne diktir. Buna göre,
∗ ◦
ku k = kz × uk = kzkkuk sin 90 = kzk
elde edilir. Yani, ku k de˘ geri,  noktasının do˘ gruya uzaklı˘ gını ifade etmektedir. kuk =1 ve
∗
z × u = u e¸sitli˘ gine göre, hu u i =0 olacaktır. O halde,
∗
∗
A = u + εu ∗
dual vektörü bir birim dual vektördür. Böylece,  yönlü do˘ grusuna kar¸sılık gelen bir tek A
birim dual vektörü bulmu¸soluruz.