Page 167 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ
P. 167

166                                      Kuaterniyonlar ve Geometri ­ Mustafa Özdemir


                                          E­Study Dönü¸sümü


                E­Study Dönü¸sümü : Dual Kürenin Noktaları Yönlü Do˘ grulara Kar¸sılık Gelir


                 11.13   Teorem R uzayındaki yönlü do˘ grular ile dual kürenin noktaları arasındaki
                                   3
                birebir e¸sleme vardır. Yani, her birim dual vektör, R uzayında bir yönlü do˘ gruya kar¸sılık
                                                             3
                gelir.


              ¨           ¥
               F Kanıt F
              §           ¦
              Öncelikle, do˘ grultmanı ve yönü u ile belirli ve  noktasından geçen ve u düzlemine dik bir
                                                                               ∗
              düzlemde bulunan bir  do˘ grusu alalım. Bu do˘ gruya kar¸sılık gelen birim dual vektörü bulalım.
              u vektörünü birim almak genelli˘ gi bozmaz.


                                                        u *       Y     d
                                                u *          u
                                                       X  .
                                               Z  .  .   x
                                                z         y

                                                   P





                                                                                       −−→
              ¸ Sekilden de takip ediniz.  do˘ gru üzerindeki herhangi bir nokta olmak üzere,  = x
              diyelim
                                                  x × u = u ∗
              ile gösterelim. Bu vektöre, u do˘ grultu vektörünün  noktasına göre vektörel momenti denir.
              u vektörü,  noktasının seçili¸sinden ba˘ gımsızdır. E˘ ger,  do˘ grusu üzerinde farklı bir 
               ∗
                              −−→
              noktası alınsaydı,  = y için,
                                    (y − x) × u = 0 ⇒ y × u = x × u = u  ∗
              bulunurdu. Madem do˘ gru üzerindeki alınacak her nokta için bu ba˘ gıntı do˘ grudur. Do˘ gru
                                                                  −→
              üzerinde,  noktasına en yakın olan noktayı  ile gösterip,  = z denilirse,
                                                  z × u = u ∗
              olacaktır.  do˘ grunun O noktasına en yakın noktası ise, z vektörü do˘ gruya, dolayısıyla da u
              vektörüne diktir. Buna göre,
                                       ∗                           ◦
                                    ku k = kz × uk = kzkkuk sin 90 = kzk
              elde edilir. Yani, ku k de˘ geri,  noktasının do˘ gruya uzaklı˘ gını ifade etmektedir. kuk =1 ve
                                ∗
              z × u = u e¸sitli˘ gine göre, hu u i =0 olacaktır. O halde,
                       ∗
                                           ∗
                                                 A = u + εu ∗
              dual vektörü bir birim dual vektördür. Böylece,  yönlü do˘ grusuna kar¸sılık gelen bir tek A
              birim dual vektörü bulmu¸soluruz.
   162   163   164   165   166   167   168   169   170   171   172