Page 164 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ
P. 164
Dual Sayılar Halkası ve Geometrik Yorumları 163
¨ ¥
3
11.8 F D Modülü F
§ ¦
D = D × D × D kümesi üzerinde, toplama ve skalerle çarpma i¸slemlerini a¸sa˘ gıdaki gibi
3
tanımlayalım. a = + ε ve b = + ε olmak üzere,
∗
∗
3
A =(a 1 a 1 a 3 ) B =(b 1 b 1 b 3 ) ∈ D
∗
λ = + ε ∈ D
için,
˙
i. Toplama I¸slemi :
A + B =(a 1 + b 1 a 1 + b 1 a 3 + b 3 )
˙
ii. Skalerle Çarpma I¸slemi :
λA =(λa 1 λa 1 λa 3 ) ∈ D 3
3
olsun. Bu i¸slemlere göre, D kümesi, D dual sayılar halkası üzerinde bir modüldür. D 3
modülünün her bir elemanına da dual vektör denilir.
Dual Vektörün Yazılı¸sı
3
3
11.11 Teorem Her A ∈ D dual vektörü, u u ∈ R reel vektörler olmak üzere,
∗
A = u + εu ∗
formunda yazılabilir.
¨ ¥
F Kanıt F
§ ¦
3
A =(a 1 a 1 a 3 ) ∈ D dual vektörünü, u =( 1 2 3 ) ve u =( ) ile göstermek
∗
∗
∗
∗
3
1
2
üzere,
∗
∗
∗
∗
∗
∗
A =( 1 + ε 2 + ε 3 + ε)=( 1 2 3 )+ ε ( )= u + εu ∗
3
3
2
1
2
1
biçiminde yazabiliriz.
¨ ¥
11.9 F D Modülü Üzerinde Skaler Çarpım F
3
§ ¦
3
A = u + εu B = v + εv ∈ D olmak üzere,
∗
∗
3
3
h i : D × D → D
(A B) → hA Bi = hu + εu v + εv i = hu vi + ε (hu v i + hu vi)
∗
∗
∗
∗
3
biçiminde Öklid iç çarpımı yardımıyla tanımlanan skaler çarpıma, D modülü üzerinde skaler
çarpım denir. Bu fonksiyon bir iç çarpım fonksiyonu de˘ gildir. Örne˘ gin, pozitif tanımlılı˘ gın
çok anlamlı olmadı˘ gı hemen görülebilir.
∗
hA Ai = hu ui +2εhu u i
bir dual sayıdır ve pozitif tanımlılık sa˘ glanmaz.
