Page 145 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ

144 Kuaterniyonlar ve Geometri ­ Mustafa Özdemir

Kuaterniyon Matrislerinide Sa˘ glanmayan Özellikler

10.3 Teorem Kompleks sayı matrislerinde sa˘ glanan bazı özellikler, kuaterniyon mat­
risleri için sa˘ glanmaz. Örne˘ gin, A ∈ M × (H) ve B ∈ M × (H) matrisleri için
a¸sa˘ gıdaki özellikler do˘ gru de˘ gildir. (Zhang, 1997)

i. AB = A B


ii. (AB) = B A 
¡ ¢ −1
iii. A = A −1
¡  ¢ −1 ¡ −1 ¢ 
iv. A = A

¨ ¥
F Kanıt F
§ ¦

∙ ¸ ∙ ¸ ∙ ¸
ik j 1 −i −1
A = B = ve A −1 =
0 j 0 i 0 −j
matrislerinin bu dört özelli˘ gi sa˘ glamadı˘ gı kolayca görülebilir.

¨ ¥
10.3 F Kuaterniyon Matrisinin Kompleks Adjoint (ek) Matrisi F
§ ¦
Her kuaterniyon kompleks matrislerle ifade edilebiliyorsa, her kuaterniyonun × türünden
matrisini de 2×2 türünden kompleks matrislerle ifade edebiliriz. A bir kuaterniyon girdili
matris ise, A matrisini de,  1 ve  2 kompleks matrisler olmak üzere,
A =  1 +  2 
biçiminde yazabiliriz. Buna göre,
∙ ¸
 1  2
− 2  1
¸ seklinde tanımlanan 2 × 2 türünden kompleks matrise, A kuaterniyon matrisinin kom­
pleks adjoint (ek) matrisi denir ve  (A) ile gösterilir.

Örne˘ gin,
∙ ¸ ∙ ¸ ∙ ¸
1+ i + j 1+ 3i + 2k 1+ i 1+ 3i 1 2i
= + j
2+ 3j + k i + k + 2j 2 i 3 + ii + 2
kuaterniyon matrisini,
⎡ ⎤
1+ i 1+ 3i 1 2i
⎢ 2 i 3 + i i + 2 ⎥
⎢ ⎥
−1 2i 1 − i 1 − 3i
⎣ ⎦
−3 + i i − 2 2 −i
biçiminde ifade edebiliriz.