Page 139 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ

138 Kuaterniyonlar ve Geometri ­ Mustafa Özdemir

Örnek 9.4
1
4­boyutlu Öklid uzayında p = (1 + i + j + k) birim kuaterniyonuna kar¸sılık gelen dönme matrisini
2
bulunuz. Dönme eksen düzlemini ve dönme açısını belirleyiniz.

Çözüm : Üstteki teoremden,
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
2
2 − 1 −2 1  2 −2 1  3 −2 1  4 −1 −1 −1 −1
1
⎢ 2 1  2 1 − 2 2 2 −2 2  3 −2 2  4 ⎥ 1 ⎢ 1 1 −1 −1 ⎥
R = ⎢ 2 ⎥ = ⎢ ⎥
⎣ 2 1  3 −2 2  3 1 − 2 3 −2 3  4 ⎦ 2 ⎣ 1 −1 1 −1 ⎦
2 1  4 −2 2  4 −2 3  4 1 − 2 2 4 1 −1 −1 1
elde edilir.
⎡ ⎤
−1 −1 −1 −1
1 ⎢ 1 1 −1 −1 ⎥
⎢ ⎥
2 ⎣ 1 −1 1 −1 ⎦
1 −1 −1 1
Dönme ekseni düzlemi 1 özde˘ gerine kar¸sılık gelen vektörlerin gerdi˘ gi düzlemdir ki, bu düzlem
© ª
− → − →
V =Sp u 1 =(0 −1 1 0)  u 2 =(0 −1 0 1) = {(   ):  +  +  =0}
1
ile belirlidir. Di˘ ger yandan, n = √ (1 1 1) olmak üzere,
3
1
p = (1 + i + j + k)= cos 60 + n sin 60 ◦
◦
2
oldu˘ gundan, dönme açısı da 2 · 60 = 120 bulunur.
◦
◦
Sa˘ gdan ve Soldan Çarpan Operatörler

9.8 Teorem Kuaterniyonlar kümesinde, q =  1 +  2 i +  3 j +  4 k kuaterniyonu için,
Y q : H → H, Y q (p)= qpq
D q : H → H, D q (p)= qpq
¸ seklinde tanımlanan Y q ve D q dönü¸sümlerini göz önüne alalım. Bu dönü¸sümlerin her ikisi
de lineerdir. Y q operatörü, bir has kuaterniyonu sa˘ gdan ve soldan çarpan, D  operatörü
ise, bir kuaterniyonu sa˘ gdan q soldan da q’nun e¸sleni˘ gi ile çarpan operatördür ve kısaca,

Y q =  q  q  D q =  q  q
ile verilebilir. Bu lineer operatörlere kar¸sılık gelen matrisler de sırasıyla,
⎡ 2 2 2 2 ⎤
 −  −  −  4 −2 1  2 −2 1  3 −2 1  4
2
3
1
2
2
2
⎢ 2 1  2  −  +  +  2 −2 2  3 −2 2  4 ⎥
Y q = ⎢ 1 2 3 4 ⎥
2
2
2
2 1  3 −2 2  3 1 2 3 4 −2 3  4
⎣  +  −  +  2 ⎦
2
2
2
2 1  4 −2 2  4 −2 3  4  +  +  −  2
1 2 3 4
⎡ 2 2 2 2 ⎤
 +  +  +  4 0 0 0
3
2
1
2
2
2
⎢ 0  +  −  −  2 −2 1  4 +2 2  3 2 1  3 +2 2  4 ⎥
D q = ⎢ 1 2 3 4 2 2 2 2 ⎥
⎣ 0 2 1  4 +2 2  3  −  +  −  4 −2 1  2 +2 3  4 ⎦
1
2
3
2
2
2
0 −2 1  3 +2 2  4 2 1  2 +2 3  4  −  −  +  4 2
3
1
2
biçimindedir.