Page 136 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ
P. 136
Kuaterniyonlar ve Dört Boyutlu Uzayda Dönme 135
9.4 Alıştırma
S 3 = { p : p birim kuaterniyon}
⎧⎡ ⎤ ⎫
1 − 2 − 3 − 4
⎪ ⎪
⎪ ⎪
⎨ ⎬
⎢ 2 1 − 4 3 ⎥ 2 2 2 2
= ⎢ ⎥ : + + + =1 ∈ R
2
1
4
3
⎣ 3 ⎦
⎪ 4 1 − 2 ⎪
⎪ ⎪
⎩ ⎭
4 − 3 2 1
kümesinin SO (4) grubunun bir altgrubu oldu˘ gunu gösteriniz.
3
9.5 Alıştırma S = { p : p birim kuaterniyon} kümesinin
⎧⎡ ⎤ ⎫
cos − sin − sin − sin
⎪ ⎪
⎪ ⎪
⎨ ⎢ sin cos − sin sin ⎥ ⎬
2
2
2
3
S = ⎢ ⎥ : + + =1
⎣ sin sin cos − sin ⎦
⎪ ⎪
⎪ ⎪
sin − sin sin cos
⎩ ⎭
biçiminde ifade edilebilece˘ gini kanıtlayınız.
Yanıt : n =( ) birim vektör olmak üzere, p =cos + n sin için p matrisinde yerine
yazınız.
9.6 Alıştırma p matrisinin kutupsal formu (9.1) olmak üzere, bu matrisin inci kuvveti için
⎡ ⎤
cos − sin − sin − sin
⎢ sin cos − sin sin ⎥
= ⎢ sin cos − sin ⎦
⎥
p
⎣ sin
sin − sin sin cos
e¸sitli˘ ginin sa˘ glandı˘ gını gösteriniz ( p matrisleri için de Moivre formülü).
9.7 Alıştırma p =cos + n sin ve q =cos + n sin birim kuaterniyonlarına kar¸sılık gelen sol
çarpım matrisinin kutupsal formları sırasıyla p ve q olsun. Bu durumda,
pq+ = p q
e¸sitli˘ gi sa˘ glanır, kanıtlayınız.
Yanıt :
pq =(cos + n sin )(cos + n sin )=cos ( + )+ n sin ( + )
oldu˘ gundan,
cos − sin − sin − sin cos − sin − sin − sin
sin cos − sin sin sin cos − sin sin
p q =
sin sin cos − sin sin sin cos − sin
sin − sin sin cos sin − sin sin cos
cos ( + ) − sin ( + ) − sin ( + ) − sin ( + )
sin ( + ) cos ( + ) − sin ( + ) sin ( + )
=
sin ( + ) sin ( + ) cos ( + ) − sin ( + )
sin ( + ) − sin ( + ) sin ( + ) cos ( + )
= pq+
görülür.
