Page 133 - KUATERNİYONLAR VE GEOMETRİ

132 Kuaterniyonlar ve Geometri ­ Mustafa Özdemir

Kuaterniyonlarla Dört Boyutlu Dönme

Kuaterniyonlarla dört boyutlu dönmeyi incelemek için, herhangi bir q kuaterniyonunun de˘ gi¸si­
mini, üç kuaterniyon çarpımına göre inceleyece˘ giz.
1.  p (q)= pq veya  p (q)= qp
2.  p (q)= pqp
3.  pr (q)= pqr
Bunların ilki bir izoklinik dönme, ikincisi basit dönme, üçüncüsü de bir ikili dönme tanımlar.
Bunların kanıtlarını a¸sa˘ gıda verece˘ giz.

Herhangi p ∈ H kuaterniyonu için,
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
 1 − 2 − 3 − 4  1 − 2 − 3 − 4
⎢  2  1 − 4  3 ⎥ ⎢  2  1  4 − 3 ⎥
 p = ⎢ ⎥ ve  p = ⎢ ⎥
⎣  3  4  1 − 2 ⎦ ⎣  3 − 4  1  2 ⎦
 4 − 3  2  1  4  3 − 2  1
matrislerine, sırasıyla sol ve sa˘ g çarpım matrisleri demi¸stik.
 p : H → H
q →  p (q)= pq
ve

 p : H → H
q →  p (q)= qp
biçiminde tanımlanan bu lineer dönü¸sümlerin ve bu lineer dönü¸sümlere kar¸sılık gelen matris­
lerin özelliklerini inceleyelim.

9.3 Alıştırma  p  p : H→H,  p (q)= pq ve  p (q)= qp dönü¸sümlerinin lineer oldu˘ gunu
kanıtlayınız.

Sa˘ g ve Sol Çarpım Matrislerinin Özellikleri

9.4 Teorem Herhangi p ve q kuaterniyonları için,  p sol çarpım ve  p sa˘ g çarpım
matrisi olmak üzere, a¸sa˘ gıdaki özellikler sa˘ glanır.

1.  p  p =  p  p
2
2. det  p =det  p = kpk e¸sitli˘ gi sa˘ glanır.
3.  p ve  p matrislerinin özde˘ gerleri kompleks sayıdır ve  1 ±kv p k i sayılarıdır. Hatta,
p
2
p birim ise, özde˘ gerler  1 ±  − 1 ile belirlidir.
1
¨ ¥
F Kanıt 2 F
§ ¦
1. Matris çarpımından kolayca görülebilir.
2. Determinantları hesaplanırsa,
¡ 2 2 2 2 2 2
¢
det  p =det  p =  +  +  +  4 = kpk
3
2
1
oldu˘ gu görülebilir.